Bernoulliren printzipioa eta ekuazioa

Bernoulliren printzipioa eta ekuazioen materiala

KMotozikleta azkarregi gidatzen dugunean, janzten dugun arropa atzealdean puztu egiten da. Oraindik motozikleta gidatu ezin baduzu, erreparatu zure gurasoei edo motozikletak gidatzen dituzten lagunei. Arropen atzealdea puztu egiten da normalean motozikleta azkar doanean. Batzuetan, haizeak gogor jotzen duenean, etxeko atea bere kabuz itxi daiteke. Haizea etxetik kanpo jotzen ari den arren, atea etxe barruan dagoen bitartean.

Hau Bernoulliren printzipioa erabiliz azal daiteke. Daniel Bernoulli-k (1700–1782) azaltzeko erabil daitekeen printzipio bat aurkitu zuen goiko batzuk.

Bernoulliren printzipioa

Bernoulliren printzipioak dio fluidoaren fluxuaren abiadura handia denean, fluidoaren presioa txikia dela. Alderantziz, fluidoaren fluxuaren abiadura txikia bada, presioa handia bihurtzen da. Motozikleta bat azkar mugitzen denean, zure gorputzaren aurrean eta ondoan dagoen airearen abiadura handia da. Horrela, airearen presioa txikia bihurtzen da. Zure gorputzaren atzealdea zure gorputzaren aurrealdeak blokeatzen du, beraz, zure gorputzaren atzean dagoen airearen abiadura ez da handira aldatzen (zure gorputzaren atzean bertan). Ondorioz, zure gorputzaren atzean dagoen airearen presioa handiagoa bihurtzen da. Airearen presioan aldea dagoenez, zure gorputzaren atzean dagoen airearen presioa handiagoa den lekuan, aireak zure alkandora atzerantz bultzatzen du, atzealdetik puztuta dagoela dirudielarik.

Zer gertatzen da haizeak kanpoan gogor jotzen duenean bere kabuz ixten den ate batekin? Kanpoko airea barrukoa baino azkarrago mugitzen da. Ondorioz, kanpoko aire-presioa barrukoa baino txikiagoa da. Presio-diferentzia horren ondorioz, barruko aire-presioa handiagoa den lekuan, atea kanporantz bultzatzen da. Beste era batera esanda, atea aire-presio handiagoa duen leku batetik aire-presio txikiagoa duen leku batera mugitzen da.

Bernoulliren ekuazioa

Aurretik, Bernoulli-ren printzipioa ikasi genuen. Bernoulli-k printzipio hau kuantitatiboki ere garatu zuen. Bernoulli-ren ekuazioa lortzeko, fluido-fluxu laminar egonkorra, konprimaezintasuna eta biskositate baxua suposatzen ditugu, eta horiek alde batera utzi daitezke.

Jarraitutasun Ekuazioaren eztabaidan, fluidoaren emaria ere alda daitekeela ikasi genuen fluxu-hodiaren zeharkako sekzioaren azaleraren arabera. Goian azaldutako Bernoulli printzipioan oinarrituta, fluidoaren presioa ere alda daiteke fluidoaren emaria arabera. Fluidoaren presioa ere alda daiteke fluidoaren altueraren arabera. Presioaren, emaria eta emaria altueraren arteko erlazioa Bernoulli ekuaziotik lor daiteke.

Bernoulli ekuazioa oso garrantzitsua da, hegazkinen hegaldia, zentral hidroelektrikoen, hodi sistemak eta abar aztertzeko erabil baitaiteke. Deribatuko dugun Bernoulli ekuazioa orokorrean aplikatzeko, fluidoa zeharkako sekzio desberdineko eta altuera desberdineko fluxu-hodi batetik igarotzen dela suposatuko dugu (ikus beheko irudia). Bernoulli ekuazioa deribatzeko, lanaren eta energiaren teorema aplikatzen diogu fluxu-hodiaren eskualdeko fluidoari. Ondoren, fluidoaren kantitatea eta fluidoa mugitzeko egindako lana kalkulatuko ditugu.

Irudiko fluxu-hodiaren kolore opakoak fluido-fluxua adierazten du, eta kolore zuriak, berriz, fluidorik ez.

1eko zeharkako sekzio-eremuan (ezkerreko aldean) dagoen fluidoak L distantzia bat isurtzen du₁ eta 2. zeharkako sekzioan (eskuineko aldean) dagoen fluidoa L distantzia bat mugitzera behartzen du₂Eskuineko 2. zeharkako sekzioaren azalera txikiagoa denez, fluxu-hodiaren eskuineko aldean dagoen fluido-emaria handiagoa da (Gogoratu jarraitutasun-ekuazioa). Horrek presio-diferentzia bat eragiten du 2. zeharkako sekzioaren (fluxu-hodiaren eskuineko aldea) eta 1. zeharkako sekzioaren (fluxu-hodiaren ezkerreko aldea) artean. Gogoratu Bernoulli-ren printzipioa. 1. zeharkako sekzioaren ezkerrean dagoen fluidoak P presioa egiten du.₁ eskuineko fluidoan eta honako lana egiten du:

Orduan, W ekuazioa₁ honela idatz daiteke:

W₁ = or₁ A₁ L₁

2. zeharkako sekzioan (fluxu-hodiaren eskuinaldean), fluidoan egindako lana hau da:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

Zeinu negatiboak adierazten du aplikatutako indarra mugimenduaren norabidearen aurkakoa dela. Beraz, fluidoak 2. sekzioaren eskuinaldean egiten du lana. Horrez gain, grabitatearen indarrak ere fluidoaren gainean egiten du lana. Goiko kasuan, fluido masa jakin bat 1. sekziotik L distantziara desplazatzen da.₁ 2. sekzioa zeharkatzera L-raino₂, non 1. zeharkako sekzioan dagoen fluidoaren bolumena (A₁ L₁) = 2. zeharkako sekzioan dagoen fluidoaren bolumena (A₂ L₂). Grabitateak egindako lana hau da:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

Zeinu negatiboa fluidoa grabitatearen norabidearen kontrako noranzkoan gorantz doanaren ondoriozkoa da. Beraz, fluidoan egindako lan osoa, goiko irudian erakusten den bezala, hau da:

W = W₁ +W₂ +W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Lan-energia teoremak dio sistema batean egindako lan osoa bere energia zinetikoaren aldaketaren berdina dela. Beraz, Lana (W) energia zinetikoaren aldaketarekin (EK) ordezka dezakegu.₂ ‐ EK₁).

Goiko ekuazioa honela berridatz dezakegu:

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ ‐ EK₁ = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2 mV₂² – 1⁄2 mV₁² = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

L distantzia batean doan fluidoaren masa₁ A zeharkako sekzioan₁ = L distantzia batean doan fluidoaren masa₂ (A zeharkako sekzioa)₂). Fluido masa jakin batek, demagun m, A bolumena du.₁L₁ eta A₂ L₂ non A₁ L₁ =A₂ L₂ (L₂ L baino luzeagoa₁).

Orain ordezkatzen dugu, edo goiko ekuazioan m ordezkatzen dugu m = ρ AL-rekin:

Hau da Bernoulli ekuazioa. Bernoulli ekuazioa lan-energia printzipioan oinarrituta eratoru dugu, beraz, Energiaren Kontserbazio Legearen forma bat da.

Informazioa:

P = Presioa

ρ = Fluidoaren dentsitatea

v = Fluidoaren fluxuaren abiadura

g = Grabitatearen azelerazioa

h = Fluxu-hodiaren/hodiaren altuera lurzoruaren gainazaletik

Bernoulli ekuazioaren ezkerreko eta eskuineko aldeek fluxu-hodiaren bi punturi erreferentzia egin diezaiekete, beraz, goiko ekuazioa honela berridatz dezakegu:

Ekuazio honek dio ekuazioko kantitateen baturak balio bera duela fluxu-hodi osoan zehar.

Orain, Bernoulliren ekuazioa aztertuko dugu kasu batzuetarako.

Bernoulliren ekuazioa fluidoentzako atsedenaldian

Bernoulliren ekuazioaren kasu berezi bat geldirik dauden fluidoena da (fluido estatikoak). Fluido bat geldirik dagoenean, ez du abiadurarik. Beraz, v₁ = v₂ = 0. Fluido geldi baten kasuan, Bernouliren ekuazioa honela formula dezakegu:

H bada₂ - h₁ = h bada, ekuazio hau honela idatz daiteke:

p₁ - or.₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - or.₂ = ρ gh

Bernoulliren ekuazioa altuera bereko hodietarako

Fluxu-hodiaren edo hodiaren altuera berdina bada, Bernoulliren ekuazioa honela aldatzen da: