Jarraitutasun Ekuaziorako Materiala
Saiatu ur-txorrota poliki irekitzen, txorrotatik ateratzen den ur-emaria behatzen duzun bitartean. Txorrota biratzen uzten duenean, itxi txorrota partzialki eskuarekin. Orain konparatu zein ur-emari den handiagoa. Partzialki blokeatuta edo desblokeatuta dagoenean? Loreak ureztatzeko erabiltzen den mahuka bat baduzu, utzi ura bertatik isurtzen. Blokeatu mahuka partzialki eskuarekin edo hatzarekin. Mahuka zenbat eta zati gehiago blokeatuta egon, orduan eta azkarrago aterako da ura. Alderantziz, mahuka blokeatuta ez badago, ura okerrago aterako da. Zergatik da horrela? Hau ulertzeko, aztertu jarraitutasun-ekuazioa.
Korronteak eta fluxu-hodiak
Lehenik eta behin, uler ditzagun korronte-lerroen eta fluxu-hodien kontzeptuak. Kontzeptu hau garrantzitsua da jarraitutasun-ekuazioa ulertzen lagunduko dizulako.
Erreka-lerroa
Begira beheko irudia, lerro urdina Streamline da.
Fluxu egonkorrean, fluido-partikula bakoitzaren abiadura puntu batean, esaterako A puntuan, konstante mantentzen da. B puntutik igarotzean, fluido-partikulen abiadura alda daiteke. Hala ere, B puntura iristean, atzetik datozen fluido-partikulak aurretik joan diren fluido-partikulen abiadura berean isurtzen jarraitzen dute. Gauza bera gertatzen da C puntura iristean, eta abar. Korronte-lerroa A, B eta C puntuak lotzen dituen kurba da.
Fluxu-hodia
Funtsean, fluido-fluxuko puntu bakoitzetik korronte-lerro bakoitza marraz dezakegu. Fluido-fluxu egonkorra hartzen badugu kontuan, gainazal irudizko batean (gainazal irudizkoan) angelu jakin bat zeharkatzen duten korronte-lerro batzuek fluxu-hodi bat osatzen dute. Ez dago elkar gurutzatzen den fluido-partikularik, beti paraleloak dira, eta fluxu-hodia beti forma bera duen hodi baten antza izango du. Hodiaren mutur batetik sartzen den fluidoa beste muturretik irtengo da hoditik.
Zor
Isurketak denbora-tarte jakin batean zeharkako sekzio jakin batetik igarotzen den fluido baten bolumena adierazten du. Matematikoki, honela adieraz daiteke:
Hobeto ulertzeko, adibide bat erabiliko dugu. Demagun fluido bat hodi batetik igarotzen dela. Hodiak normalean zilindrikoak dira eta zeharkako sekzio-azalera espezifikoa dute. Hodiak luzera bat ere badu.
Fluidoa hodian L-raino doanean, hodi barruko fluidoaren bolumena V = AL da (V = fluidoaren bolumena, A = zeharkako sekzioaren azalera eta L = hodiaren luzera). Hodian L-tik zehar doan bitartean fluidoak denbora-tarte jakin bat igarotzen duenez, fluidoaren isurketaren magnitudea hau dela esan dezakegu:
v = s/t = L/t —> L = vt denez, goiko ekuazioa honela aldatzen da:
Beraz, fluido bat zeharkako sekzio eta luzera jakin bat duen hodi batetik denbora-tarte jakin batean zehar doanean, fluidoaren isurketaren magnitudea (Q) zeharkako sekzioko azaleraren (A) bider fluidoaren fluxu-abiaduraren (v) berdina da.
Jarraitutasun Ekuazioa
Demagun beheko irudian erakusten den bezala diametro desberdineko hodi batean doan fluido-fluxua.
Irudi honek fluidoen fluxua ezkerretik eskuinera erakusten du (fluidoa diametro handiko hodi batetik diametro txikiko hodi batera doa). Lerro puntudunak korronte-lerroak dira.
Irudiaren azpititulua: A1 = diametro handiko hodiaren zeharkako azalera, A2 = diametro txikiko hodiaren zeharkako azalera, v1 = diametro handiko hodi-sekzioaren fluido-fluxuaren abiadura, v2 = fluidoaren fluxu-abiadura diametro txikiko hodi-sekzioan, L = fluidoak egindako distantzia.
Fluidoen dinamikaren sarreran, azaldu zen fluidoen dinamikan konprimaezinak, biskositaterik gabekoak, turbulentziarik gabekoak eta egonkorrak diren fluidoen fluxuaz ari garela. Fluido egonkorrean, puntu batean fluido partikulen abiadura puntu horretatik igarotzen diren beste fluido partikulen abiaduraren berdina da. Fluido-fluxuek ere ez dute elkar gurutzatzen (korronte-lerroak paraleloak dira). Beraz, hodiaren mutur batetik sartzen den fluidoaren masa beste muturretik irteten den fluidoaren masaren berdina izan behar da. Masa jakin bat duen fluido bat diametro handiko hodi batera sartzen bada, orduan fluidoa diametro txiki batekin eta masa konstante batekin irtengo da hoditik.
Orain, begiratu goiko hodiaren irudia. Begiratu diametro handiko hodiaren zatiari eta diametro txikiko hodiaren zatiari.
Denbora-tarte jakin batean, fluido kantitate jakin bat igarotzen da diametro handiko (A) hodi-sekzio batetik.1) L-raino1 (L1 = v1 t). Fluidoaren bolumena V da.1 =A1 L1 =A1 v1 t. Denbora-tarte berean, beste fluido-kantitate bat igarotzen da diametro txikiagoko hodi-sekzio batetik (A).2) L-raino2 (L2 = v2 t). Fluidoaren bolumena V da.2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Fluido konprimaezinentzako jarraitutasun-ekuazioa (konprimaezina)
Lehenik eta behin, fluido konprimaezin baten kasua aztertuko dugu. Fluido konprimaezin batean, fluidoaren dentsitatea edo masa beti berdina da zeharkatzen duen puntu guztietan. A zeharkako sekzioa duen hodi batetik doan fluidoaren masa hau da:1 (hodi diametro handikoa) denbora-tarte jakin batean hau da:
Era berean, A zeharkako sekzioa duen hodi batetik doan fluidoaren masa2 (hodi diametro txikia) denbora-tarte jakin batean hau da:
Kontuan hartuta fluxu egonkorrean sartzen den fluidoaren masa eta irteten den fluidoaren masa berdinak direla, orduan:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t (fluidoaren dentsitatea eta denbora-tartea berdinak dira, beraz, ezeztatzen dira)
A1 v1 =A2 v2
Beraz, fluido konprimaezinetan, jarraitutasun-ekuazioa aplikatzen da:
A1 v1 =A2 v2 — 1. ekuazioa
Informazioa:
A1 = zeharkako sekzioaren azalera 1, A2 = zeharkako sekzioaren azalera 2, v1 = fluidoaren fluxuaren abiadura 1. sekzioan, v2 = fluidoaren fluxuaren abiadura 2. sekzioan, A v = bolumen-emaria V/t, hau da, isurketa
1. ekuazioak erakusten du bolumen-emaria, isurketa bezala ere ezagutzen dena, beti berdina dela hodi edo fluxu-hodi baten puntu guztietan. Hodiaren zeharkako sekzioa txikitzen den heinean, fluido-emaria handitzen da; alderantziz, hodiaren zeharkako sekzioa handitzen den heinean, fluido-emaria gutxitzen da.
Txorrota partzialki tapatzen dugunean, uraren emaria azkarrago doa txorrota partzialki itxita dagoenean baino. Hau horrela da txorrotaren zeharkako sekzioaren azalera gutxitzen delako txorrota partzialki itxita dagoenean, uraren emaria handituz (fluidoa azkarrago isurtzen da). Gauza bera gertatzen da mahukekin. Hala ere, garrantzitsua da kontuan izatea isurketa-emari edo bolumen-emaria berdina dela ur-fluxuaren puntu guztietan, txorrota partzialki itxita egon edo ez. Beraz, aldatzen dena fluidoaren emaria da.
Zer gertatzen da, orduan, ibai bateko ur-emariari buruz? Ibaiaren zati sakonenek sekzio handiagoa dute sakonera txikiagokoek baino, beraz, zati sakonenetan ur-emaria txikiagoa da zati sakonenetan baino. Ibai-emaria oso lasaia ikusten baduzu, horrek esan nahi du ibaia sakona dela. Baina ibaia bat-batean azkar jaisten bada, zati hori zalantzarik gabe sakonera txikikoa da. Hala ere, ur-bolumenaren emaria beti berdina da, ibaiaren zati sakonetan edo lasaietan izan.
Fluido konprimagarrien jarraitutasun-ekuazioa (konprimagarria)
Fluido konprimagarri baten kasuan (konprimagarria), fluido baten dentsitatea ez da beti berdina. Beste era batera esanda, fluido baten dentsitatea aldatu egiten da konprimitzen denean. Fluido konprimaezin baten ekuaziotik fluidoaren dentsitatea kentzen badugu, kasu honetan fluidoaren dentsitatea oraindik ere barne hartzen da. Aurretik eratorritako ekuazioa gida gisa erabiliz, deriba dezagun fluido konprimagarri baten ekuazioa.
Kontuan hartuta fluxu egonkorrean sartzen den fluidoaren masa eta irteten den fluidoaren masa berdinak direla, orduan:
m1 = m2
ρA1 v1 t = ρA2 v2 t
Fluido-fluxuaren denbora-tartea berdina da, beraz, ezabatu daiteke. Ekuazioa honela aldatzen da:
ρA1 v1 = ρA2 v2 → 2. ekuazioa
Hau da fluido konprimagarri baten ekuazioa. Desberdintasun bakarra fluidoaren dentsitatean datza. Fluido bat konprimitzen denean, bere dentsitatea aldatu egiten da. Alderantziz, fluido bat konprimaezina denean, bere dentsitatea konstante mantentzen da eta ezezta daiteke.
1. galderaren adibidea:
Ura 10 cm-ko diametroa duen hodi batetik 2 m/s-ko abiaduran isurtzen da. Zein da ur-emari?
Eztabaida
Jakina da:
Hodiaren diametroa = 10 cm (hau da hodiaren barne diametroa)
Hodiaren erradioa (r) = 5 cm = 0,05 m
v ura = 2 m/s
Galdetu zuen: Zor
Erantzuna:
Q = A v
Q = (πr)2) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m)2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m)2)(2 m/s)
Q = 0,0157 m3 /s
2. galderaren adibidea:
20 cm-ko diametroa duen ur-hodi bat 10 cm-ko diametroa duen beste hodi batera konektatuta dago. 20 cm-ko diametroa duen hodiko ur-emaria 4 m/s bada, zein da 10 cm-ko diametroa duen hodiko ur-emaria?
Eztabaida
Jakina da:
1. diametroa = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
2. diametroa = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Galdetuta: v1
Erantzuna:
Q1 = Q2
A1 v1 =A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0,1 m)2 (4 m/s) = (0,05 m)2 (v2)
(0,01 m2)(4 m/s) = (0,0025 m2)(v2)
(0,04 m3 /s) = (0,0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
