Zenbaki errealen sistema
Zenbaki errealen sistema matematikako kontzeptu oinarrizkoenetako bat da, eguneroko bizitzan aurkitzen ditugun ia kantitate guztiak adierazteko erabiltzen dena, luzera eta masatik hasi eta tenperatura, abiadura eta denboraraino. Zenbaki errealak matematikaren hainbat adarren oinarria dira, hala nola aljebra, geometria, kalkulua eta estatistika, eta zientziaren eta ingeniaritzaren hizkuntza nagusia ere badira. Zenbaki errealen sistema ulertzeak esan nahi du zenbakiak nola sailkatzen diren, nola erlazionatzen diren elkarren artean eta nola haien propietateek kalkuluak eta ereduak modu koherentean egiteko aukera ematen diguten ulertzea.
Zenbaki errealak ulertzea
Zenbaki errealak zenbaki-lerro batean jar daitezkeen zenbaki guztien multzoa dira. Honen barruan sartzen dira bai zenbaki arrazionalak bai irrazionalak. Intuitiboki, zenbaki errealek kantitate jarraitu baten "balio" gisa adieraz daitezkeen zenbaki guztiak hartzen dituzte barne, adibidez, mahai baten luzera metro 1, 1,5 metro edo baita 1,414213 metro ere izan daiteke.
Zenbaki errealen multzoa normalean ℝ ikurrarekin adierazten da. Zenbaki erreal bakoitzak posizio berezia du zenbaki-lerroan, negatiboa, zero edo positiboa izan.
Zenbakien sailkapena zenbaki errealen sisteman
Zenbaki errealen sistema ez dago bakarrik. Zenbaki-sistema sinpleago baten luzapena da. Ulertzeko, osatzen duten zenbakien sailkapena aztertu behar dugu.
1. Zenbaki naturalak
Zenbaki naturalak normalean ℕ gisa adierazten dira. Zenbaki hauek objektuak zenbatzeko erabiltzen dira eta, oro har, hauek barne hartzen dituzte:
1, 2, 3, 4, 5, …
Definizio batzuetan, 0 zenbaki naturaletan ere sartzen da, baina hezkuntza-praktikan, sarritan bereizketa egiten da zenbaki osoen eta zenbaki naturalen artean.
2. Zenbaki osoak
Zenbaki osoek zero gehi zenbaki naturalak barne hartzen dituzte:
0, 1, 2, 3, 4, …
Zenbaki osoak erabilgarriak dira zenbaketa testuinguru batean "ezer ez" (zero) adierazi behar dugunean.
3. Zenbaki osoak
Zenbaki osoak ℤ bidez adierazten dira eta zenbaki osoak eta haien negatiboak barne hartzen dituzte:
…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Zenbaki osoak garrantzitsuak dira "zero azpiko" norabideak edo balioak dituzten egoerak adierazteko, hala nola izozte-puntuaren azpiko tenperaturak, zorra edo itsas mailaren azpiko altuerak.
4. Zenbaki arrazionalak
Zenbaki arrazionalak ℚ ikurrarekin adierazten dira. Zenbaki hau zatiki moduan idatz daitekeen zenbakia da:
\[
\frac{p}{q}
\]
\(p\) eta \(q\) zenbaki osoekin, eta \(q \neq 0\).
Zenbaki arrazionalen adibideak:
– (\frac{1}{2} = 0,5)
– (\frac{3}{4} = 0,75)
– \(-\frac{7}{5} = -1,4\)
– 2 honela idatz daiteke: \(\frac{2}{1}\)
Zenbaki arrazionalen ezaugarri garrantzitsu bat da haien forma hamartarra amaitzen edo errepikatzen dela. Adibidez:
– 0,25 geldialdi
– 0,333… errepikapenak
5. Zenbaki irrazionalak
Zenbaki irrazionalak zenbaki errealak dira, \(\frac{p}{q}\) forman adierazi ezin direnak, non \(p\) eta \(q\) zenbaki osoak diren. Forma hamartarrak ez du amaierarik eta ez da errepikatzen.
Zenbaki irrazionalen adibideak:
– (2 karratu = 1,41421356…)
– (pi = 3,14159265…)
– \(e = 2,7182818…\)
Zenbaki irrazionalak maiz agertzen dira geometrian (adibidez, diagonal baten erro karratua) eta analisi matematikoan.
6. Zenbaki errealak
Zenbaki errealak zenbaki arrazional eta irrazionalen konbinazioa dira:
\[
\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup (\text{irrazionala})
\]
Beste era batera esanda, zenbaki-zuzen batean adieraz daitezkeen zenbaki guztiak zenbaki errealak dira.
Zenbaki-lerroa eta dentsitatearen kontzeptua
Zenbaki errealak ulertzeko modurik onenetako bat zenbaki-lerroaren bidez da. Lerro honetan, puntu bakoitzak zenbaki erreal bat adierazten du. Interesgarria da, bi zenbaki errealen artean beti beste zenbaki erreal bat dagoela. Adibidez, 1 eta 2 artean 1,5 da; 1,5 eta 2 artean 1,75 da; eta horrela mugagabe.
Propietate horri dentsitate deritzo. Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak berdin trinkoak dira zenbaki-lerroan: bi zenbaki errealen artean, infinitu zenbaki arrazional eta infinitu zenbaki irrazional daude.
Zenbaki errealekin oinarrizko eragiketak
Zenbaki errealek oinarrizko eragiketa matematiko hauek onartzen dituzte:
1. Batuketa: \(a + b\)
2. Kenketa: \(a – b\)
3. Biderketa: \(a \times b\)
4. Zatiketa: \(a \div b\), \(b \neq 0\) baldintzarekin
Eragiketa hauek propietate garrantzitsuak dituzte, hala nola:
– Kommutatiboa: \(a + b = b + a\), \(ab = ba\)
– Elkartzailea : \((a + b) + c = a + (b + c)\)
– Banatzailea: \(a(b + c) = ab + ac\)
– Identitatea du: 0 batuketarako, 1 biderketarako
– Alderantzizkoa du: \(-a\) batuketarako, \(\frac{1}{a}\) biderketarako (\(a \neq 0\)-rako)
Propietate hauek zenbaki errealak oso egonkor bihurtzen dituzte kalkulu-sistema gisa.
Ordena eta Balio Absolutua
Zenbaki errealek ere ordena-erlazioa dute. Bi zenbaki erreal konparatu ditzakegu zeinu honekin:
– \(<\) txikiagoa da - \(>\) handiagoa da
– \(\le\) baino txikiagoa edo berdina da
– \(\ge\) handiagoa edo berdina da
Horrez gain, balio absolutuaren kontzeptua dago, zenbaki baten zeroarekiko distantzia adierazten duena:
\[
|a| =
\begin{kasuak}
a, & \text{baldin } a \ge 0 \\
-a, & \text{baldin } a < 0 \end{kasuak} \] Adibidez, \(|-5| = 5\) eta \(|3| = 3\).
