Erlazioaren eta Proportzioaren arteko konparaketa
Matematikan eta eguneroko bizitzan, bi gauza alderatzen ditugu maiz: prezioa kantitatea versus, distantzia denbora versus, edo ikasle gizonezkoen eta emakumezkoen kopurua. Konparazio horiek eztabaidatzeko gehien erabiltzen diren bi kontzeptuak ratioa eta proportzioa dira. Antzekoak diruditen arren, eta askotan gauza berarekin nahasten diren arren, benetan funtzio eta erabilera desberdinak dituzte. Artikulu honek argi eta garbi aztertzen du ratioaren eta proportzioaren arteko konparaketa, erraz ulertzeko adibideak emanez.
Ratioa ulertzea
Ratio bat bi kantitate antzeko edo konparagarriren arteko konparaketa da. Balio bat beste batekin zenbat aldiz alderatzen den adierazten du. Ratioak hainbat formatan idatz daitezke, adibidez:
– a : b (irakurri “a-k b alderatzen du”)
– a/b
– hitzez, adibidez “a b-rekin alderatuta”
Adibidez, klase batean 12 ikasle gizonezko eta 18 ikasle emakumezko badaude, orduan gizonezkoen eta emakumezkoen arteko erlazioa hau da:
– 12 : 18
Proportzio hau sinplifikatu daiteke biak 6z zatituz:
– 2 : 3
Horrek esan nahi du bi ikasle gizonezko bakoitzeko hiru ikasle emakumezko daudela.
Ratioen ezaugarriak
1. Bi kantitate (edo gehiago, baina normalean bi) alderatu.
2. Zatiki bat bezala sinplifikatu daiteke.
3. Ez du beti “berdintasuna” adierazten; ratioak konparaketa baino ez du adierazten.
Proportzioa ulertzea
Proportzioa bi erlazioren berdintasuna da. A-ren eta B-ren arteko erlazioa C-ren eta D-ren arteko erlazioaren berdina bada, orduan erlazioari proportzio deitzen zaio. Normalean honela idazten da:
– a : b = c : d
edo
– a/b = c/d
Kontua:
2/3 = 4/6 bada, proportzio bat da, bi ratioak berdinak direlako.
Benetako bizitzan, proportzioak maiz erabiltzen dira eskalarekin, errezetekin, abiadurarekin, unitateko prezioekin eta abar lotutako problemak konpontzeko.
Proportzioaren ezaugarriak
1. Beti bi ratio alderatzen dira.
2. Berdintasuna erakusten du (balio konparatiboa berdina da).
3. Oro har, balio ezezagunak (aldagaiak) aurkitzeko erabiltzen da.
Ratioaren eta Proportzioaren arteko desberdintasun nagusiak
Erlazionatuta egon arren, ratioak eta proportzioak funtsezko desberdintasunak dituzte definizioan eta funtzioan. Hona hemen konparazio gako bat:
1. Kontzeptuaren definizioa
– Ratioa: bi kantitateren arteko konparaketa.
– Proportzioa: bi erlazioren berdintasuna.
Ratioa “konparatzea” bezalakoa da, eta proportzioa, berriz, “bi ratio konparatzea”.
2. Adierazpenaren forma
– Erlazioa, besterik gabe, honela idazten da: a : b.
– Proportzioa honela idazten da: a : b = c : d edo a/b = c/d.
3. Tujuan Penggunaan
– Ratioak baldintzak edo konposizioa adierazteko erabiltzen dira.
– Proportzioak berdintasun konparatiboa behar duten problemak ebazteko erabiltzen dira.
4. Berdintasuna dagoen ala ez
– Ratioak ez du beste ratioekin berdintasunik eskatzen.
– Proportzioak beti bi erlazioren berdintasuna adierazten du.
Eguneroko bizitzako ratioen adibideak
1. adibidea: Nahastearen konposizioa
Edari bat almibarretan eta uretan egiten da 1:5 proportzioan. Horrek esan nahi du:
– almibar zati 1 bakoitza 5 zati urarekin nahastuta.
Ratio bat da, konposizioen alderaketa bakarrik erakusten duelako.
2. adibidea: Distantziaren eta denboraren konparaketa
Pertsona batek 120 km egiten ditu 2 ordutan. Distantziaren eta denboraren arteko erlazioa hau da:
– 120 : 2 = 60 : 1
Askotan abiadurarekin lotzen da, baina hasierako funtsa erlazioa da.
Eguneroko Bizitzan Proportzioen Adibideak
1. adibidea: Maparen eskala
1:100.000 eskalak esan nahi du mapan 1 cm = 100.000 cm-ko balioa duela benetako bizitzan.
Mapan agertzen den distantzia 3 cm bada, zein da benetako distantzia?
Proportzioa egiten dugu:
– 1/100.000 = 3/x
Beraz:
– x = 3 × 100.000 = 300.000 cm = 3 km
Proportzio bat da, bi erlazioren berdintasuna dakarrelako eta x-ren balioa aurkitzeko erabiltzen delako.
2. adibidea: Sukaldaritza errezeta
4 lagunentzako errezeta batek 200 gramo irin behar ditu. Zenbat gramo behar dira 10 lagunentzako?
Proportzioa egiten dugu:
– 200/4 = x/10
x = (200 × 10) / 4 = 500 gramo
Hau alderantzizko edo proportziozko konparazioan proportzioaren adibide klasiko bat da.
Erlazioaren eta proportzioaren arteko erlazioa
Erlazioa eta proportzioa ez dira elkarren artean baztertzaileak. Proportzioa, hain zuzen ere, erlazioaren kontzeptuan oinarritzen da. Erlazioa ulertu gabe, zaila izango da proportzioa ulertzea. Hala ere, erlazio bat izatea ez da nahikoa proportzioa ezartzeko; beste erlazio baliokide bat behar dugu.
Ratioa "oinarrizko osagaia" da, proportzioa bi konparazioren arteko "berdintasun erlazioa".
Misalnya:
– 2 : 3 erlazioa da.
– 2 : 3 = 4 : 6 esaten dugunean, proportzio bihurtzen da.
Nola egiaztatu proportzio bat zuzena den
a/b = c/d proportzio zuzena den egiaztatzeko, biderketa gurutzatua erabil dezakegu:
– a × d = b × c
Kontua:
– 2/3 = 4/6
Egiaztatu:
– 2 × 6 = 12
– 3 × 4 = 12
Berdinak direnez, proportzioa zuzena da.
Emaitzak berdinak ez badira, bi ratioak ez direla konparagarriak eta ez direla proportzio zuzena esan nahi du.
Ratioak eta proportzioak ulertzeko ohiko akatsak
1. Demagun ratio automatiko guztiak proportzioak direla.
Ratio berria proportzio bihurtzen da beste ratio baliokideekin alderatuta.
2. Ez sinplifikatu erlazioa lehenik.
12 : 18 eta 2 : 3 proportzioak berdinak dira, baina sinplifikatzen ez badira, nahasgarriak izan daitezke.
3. Kantitatea gaizki jartzea.
Proportzioetan, ordena funtsezkoa da. Ordena okerra bada, kalkuluaren emaitzak ere okerrak izango dira.
Ondorioa
Erlazioak eta proportzioak biak alderaketak eztabaidatzen dituzte, baina egitura eta funtzioan desberdinak dira. Erlazioa bi kantitateen arteko alderaketa da, eta proportzioa, berriz, bi kantitate berdinak direla dioen adierazpena. Erlazioak maizago erabiltzen dira konposizioa edo zuzeneko alderaketak deskribatzeko, eta proportzioak, berriz, proportzionaltasuna eta balio ezezagunak aurkitzeko arazoak ebazteko.
Bien arteko aldea ulertzea lagungarria izango da egoera askotan, eskolako matematika eta mapak irakurtzearekin hasi eta errezetak kalkulatzera eta kostu eta eskala planak sortzeraino. Kontzeptu egokiekin, erlazioak eta proportzioak zehaztasunez eta eraginkortasunez erabil ditzakegu.
