Desbideratze estandarra nola kalkulatu
Desbideratze estandarra datuak batez bestekotik zenbateraino "sakabanatuta" dauden zehazteko neurri estatistiko erabilienetako bat da. Benetako bizitzan, desbideratze estandarrak fenomeno baten egonkortasuna edo aldakuntza ulertzen laguntzen digu: adibidez, proben emaitzen aldakuntzak, salmenten gorabeherak, altueraren desberdintasunak eta baita finantza-datuen arriskuak ere. Zenbat eta desbideratze estandar txikiagoa izan, orduan eta hurbilago egongo dira datuak batez bestekotik. Alderantziz, desbideratze estandar handi batek adierazten du datuak batez bestekotik urrun daudela eta aldakuntza handia dutela.
Artikulu honek desbideratze estandarraren esanahia, erabilitako formula eta eskuz kalkulatzeko urratsak aztertuko ditu, erraz ulertzeko moduko adibideen bidez.
1. Desbideratze estandarraren definizioa
Desbideratze estandarra bariantzaren erro karratua da. Bariantza bera datu-puntu bakoitzaren eta batez bestekoaren arteko desberdintasunen karratuen batez bestekoa da. Zergatik erabili karratu bat? Datu-puntuen eta batez bestekoaren arteko desberdintasunak negatiboak edo positiboak izan daitezkeelako. Zuzenean batzen badira, desberdintasun negatiboek eta positiboek elkar ezezta dezakete, emaitza engainagarriak sortuz. Desbideratzeak karratu eginez, balio guztiak positibo bihurtzen dira, datuen banaketaren neurketa zehatzagoa ahalbidetuz.
Besterik gabe:
– Bariantza = sakabanaketaren neurria unitate “karratuetan”.
– Desbideratze estandarra = datu-unitate originaletara itzuli den hedapenaren neurria.
Adibidez: datuak proben puntuazioen moduan badaude (puntu unitateak), bariantza puntutan egongo da, eta desbideratze estandarra, berriz ere, puntutan, interpretatzea erraztuz.
2. Populazioa vs. Laginaren Desbideratze Estandarra
Kalkulatu aurretik, garrantzitsua da zein motatako datuak dituzun jakitea:
1. Biztanleria: datuek ikertu beharreko kide guztiak barne hartzen dituzte.
Populazioaren desbideratze estandarraren formulak N zatitzailea (datu kopurua) erabiltzen du.
2. Lagina: datuak populazioaren zati bat baino ez dira, normalean populazio handiago bat irudikatzeko erabiltzen dira.
Laginaren desbideratze estandarraren formulak zatitzaile bat (n − 1) erabiltzen du estimazio-alborapena zuzentzeko. Zuzenketa horri Bessel-en zuzenketa deritzo.
Eguneroko praktikan (adibidez, ikerketan, inkestetan, klaseko analisietan), datuak lagin gisa hartzen dira askotan, beraz, zatitzailea (n − 1) da.
3. Desbideratze estandarraren formula
A. Biztanleriaren Desbideratze Estandarraren Formula
Demagun datuak hauek direla: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Biztanleriaren batez bestekoa:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Populazio-aldakortasuna:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Populazioko desbideratze estandarra:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Desbideratze estandarraren formula adibidea
Laginaren batez bestekoa:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Laginaren bariantza:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Laginaren desbideratze estandarra:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Desbideratze estandarra eskuz kalkulatzeko urratsak
Errazago ulertzeko, 5 ikasleren azterketako puntuazioen datuen adibidea erabiliko dugu:
Datuak: 60, 70, 70, 80, 90
Demagun datu hau lagin bat dela (ohikoa ikaskuntza-adibideetan).
1. urratsa: Kalkulatu batez bestekoa
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Beraz, batez besteko puntuazioa 74 da.
2. urratsa: Kalkulatu datu bakoitzaren eta batez bestekoaren arteko aldea
Sortu diferentzia zutabe bat \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
3. urratsa: Aldea karratu
Kalkulatu (x_i – x)^2
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
4. urratsa: Gehitu desberdintasunen karratuak
\[
(x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
5. urratsa: Kalkulatu bariantza (lagin batentzat, zatitu n − 1ez)
n = 5 denez, orduan n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Beraz, laginaren bariantza 130 da.
6. urratsa: Bariantzaren erro karratua desbideratze estandarra lortzeko
\[
s = \sqrt{130} \circ 11{,}40
\]
Beraz, datuen desbideratze estandarra gutxi gorabehera 11,40 da. Horrek esan nahi du, batez beste, ikasleen puntuazioak gutxi gorabehera 11 puntu aldentzen direla 74ko batez bestekotik.
5. Bide azkarra: Formula alternatiboa (kalkulua)
Goiko eskuzko metodoaz gain, kalkuluak bizkortzeko erabili ohi den formula konputazional bat dago, batez ere datu asko daudenean:
Laginaren bariantza:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Formula honek desberdintasunak banan-banan kalkulatzea saihesten du, baina zehaztasuna eskatzen du datuen karratuen batura kalkulatzerakoan.
Hala ere, kontzeptuak ulertzeko, urratsez urratseko metodoa (aldera → karratua → batura) errazagoa eta akatsetatik seguruagoa da normalean.
6. Desbideratze Estandarraren Interpretazioa
Desbideratze estandarra ez da zenbakietan bakarrik gelditzen, baizik eta interpretatu egin behar da:
– Desbideratze estandar txikia: datuak batez bestekoaren inguruan multzokatzen dira, aldakuntza txikia da, emaitzak koherenteagoak dira.
– Desbideratze estandar handia: datuak batez bestekotik urrun daude, aldakortasuna handia da, emaitzak ez dira hain koherenteak.
Adibidez, demagun bi klasek batez besteko puntuazio bera dutela, 74. A klaseak 5eko desbideratze estandarra badu eta B klaseak 15eko desbideratze estandarra, orduan A klaseko puntuazioak parekatuagoak eta egonkorragoak dira. B klaseak aldakortasun handiagoa du: batzuk oso baxuak dira eta beste batzuk oso altuak.
7. Ohiko akatsak
Desbideratze estandarra kalkulatzerakoan ohiko akats batzuk:
1. Laginaren eta populazioaren arteko bereizketa ahaztu zait, beraz, zatitzailea okerra da (N vs n − 1).
2. Batez bestekoa gaizki kalkulatzea, eta horren ondorioz ondorengo urrats guztiak okerrak izatea.
3. Diferentzia karratua ahaztea, edo erro karratua amaieran ateratzerakoan akats bat egitea.
4. Zenbakien karratuak batu edo kalkulatzean egindako errore aritmetikoak.
Akatsak saihesteko, kalkulu-taula bat sortu eta emaitzak berriro egiaztatu daiteke.
Itxiera
Desbideratze estandarra kalkulatzea ez da zaila urratsak behar bezala jarraitzen badituzu: kalkulatu batez bestekoa, aurkitu datu multzo bakoitzaren arteko aldea, jarri desberdintasunak karratuan, batu, zatitu (n edo n − 1ez) eta gero atera erro karratua. Desbideratze estandarra ulertuz, ebaluatu dezakezu zein koherenteak diren zure datuak eta zenbat aldakuntza dagoen.
Nahi baduzu, datu gehiagorekin adibide gehigarriak ere sor ditzaket, datu multzokatuen adibideak (maiztasun taulak) edo desbideratze estandarra Excel/Google Sheets erabiliz nola kalkulatu.
