Eremu elektrikoen oinarrizko teoriak
Eremu elektrikoak fisikaren munduko oinarrizko kontzeptuetako bat dira, batez ere elektromagnetismoaren azterketan. Eremu elektrikoak ulertzea ezinbestekoa da naturako hainbat fenomeno ulertzeko eta aurrerapen teknologiko ugari garatzeko. Artikulu honek eremu elektrikoak arautzen dituzten oinarrizko teorietan sakontzen du, haien definizioetatik eta ezaugarrietatik hasi eta haien formulazio eta aplikazio matematikoetaraino.
Zer da eremu elektriko bat?
Eremu elektrikoa espazioko eskualde bat da, karga elektrikoa duen partikula edo objektu baten inguruan, non indar elektriko bat beste partikula edo objektu kargatu batzuen gainean eragiten den. Kontzeptualki, eremu elektrikoa bektore-eremu bat da, hau da, magnitudea eta norabidea ditu espazioko puntu guztietan.
Eremua normalean eremu elektrikoaren lerroek irudikatzen dute. Lerro hauek karga positiboetatik sortzen dira eta karga negatiboetan amaitzen dira, eremuaren barruan jarriz gero karga positibo batek jasango lukeen indarraren norabidea ilustratuz.
Eremu elektrikoen oinarrizko propietateak
1. Bektorearen Izaera: Eremu elektrikoa bektore-eremu bat da, \(\mathbf{E}\) bidez irudikatua. Horrek esan nahi du edozein puntutan eremuak norabide eta magnitude bat dituela.
2. Gainjartze Printzipioa: Karga anitzek eragindako eremu elektriko garbia karga bakoitzak independenteki sortutako eremu elektrikoen batura bektoriala da. Baldin eta \(\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2, \ldots, \mathbf{E}_n\) karga indibidualen ondoriozko eremu elektrikoak badira, eremu elektriko osoa \(\mathbf{E}_{\text{guztira}}\) honela ematen da:
\[
\mathbf{E}_{\text{total}} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 + \ldots + \mathbf{E}_n
\]
3. Iturria eta hustubidea: Eremu elektrikoak karga positiboetatik sortzen dira eta karga negatiboetan amaitzen dira. Karga puntual positibo batek kanporantz zuzendutako eremu elektrikoa sortzen du, eta karga negatibo batek, berriz, barrurantz zuzendutako eremua.
4. Distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala: Karga puntual batek sortutako eremu elektrikoaren magnitudea kargarekiko distantziaren karratuarekin gutxitzen da, Coulomb-en legea jarraituz.
Coulomben legea
Coulomb-en legea funtsezkoa da karga puntual batek eragindako eremu elektrikoa kalkulatzeko. Bi karga puntualen arteko indar elektrikoaren magnitudea (\(F\)) zuzenean proportzionala dela dio kargen balio absolutuen (\(|q_1|\) eta \(|q_2|\)) biderkadurarekiko, eta alderantziz proportzionala haien arteko distantziaren karratuarekiko (\(r\)). Matematikoki, Coulomb-en legea honela adierazten da:
\[
F = k_e \frac{|q_1q_2|}{r^2}
\]
non \(k_e\) Coulomb-en konstantea den (\(8.9875 \times 10^9 \, \text{N·m}^2/\text{C}^2\)).
\(r) distantzian dagoen karga puntual batek (\(q\)) eragindako eremu elektrikoa (\(\mathbf{E}\)) honela ematen da:
\[
\mathbf{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{r}
\]
non \(\hat{r}\) kargatik eremua kalkulatzen ari den espazioko puntura seinalatzen duen bektorea den.
Karga-banaketa jarraituen eremu elektrikoa
Egoera praktiko askotan, kargak ez daude isolatuta, espazioko eskualdeetan zehar sakabanatuta baizik, hala nola lerro batean zehar, gainazal batean edo bolumen batean zehar. Banaketa hauek integrazioa behar dute emaitza den eremu elektrikoa kalkulatzeko.
1. Lerro-karga banaketa: Demagun \(L\) luzerako haga mehe bat, uniformeki kargatua, \(\lambda\) karga-dentsitate linealarekin (luzera-unitateko karga). \(P\) puntu batean, hagatik \(r\) distantziara bere ardatzean zehar, eremu elektrikoa honela integratuz lortzen da:
\[
\mathbf{E} = \int \frac{k_e \lambda \, dl}{r^2} \hat{r}
\]
2. Gainazaleko Karga Banaketa: Gainazaleko karga-dentsitatea \(\sigma\) (azalera-unitateko karga) duen gainazal lau eta kargatu batentzat, gainazalarekiko perpendikularra den \(P\) puntu bateko eremu elektrikoa hau da:
\[
\mathbf{E} = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}
\]
xaflaren alde banatan, non \(\epsilon_0\) espazio librearen permitibitatea den (\(8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N·m}^2)\)).
3. Bolumen-karga banaketa: Bolumen-karga dentsitatea (bolumen-unitateko karga) duen eskualde batean, puntu bateko eremu elektrikoa honela lortzen da:
\[
\mathbf{E} = \int \frac{k_e \rho \, dV}{r^2} \hat{r}
\]
Gauss-en legea
Gauss-en legeak metodo indartsua eskaintzen du eremu elektrikoa zehazteko karga-banaketa simetria-maila handia denean. Gainazal itxi batetik igarotzen den fluxu elektrikoa gainazalak inguratutako kargarekin erlazionatzen du. Matematikoki, Gauss-en legea honela adierazten da:
\[
\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}
\]
non \( \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} \) gainazal itxi batetik igarotzen den fluxu elektrikoa den, eta \( Q_{\text{enc}} \) gainazalak inguratzen duen karga osoa den.
Gauss-en legea bereziki erabilgarria da simetria esferikoa, zilindrikoa edo planarra duten kasuetan, eremu elektrikoaren kalkulu dotorea ahalbidetzen baitu integrazio korapilatsurik behar izan gabe.
Gauss-en legearen aplikazioak
1. Simetria esferikoa: Karga puntual batentzat \(q\) edo karga-banaketa esferikoki simetriko batentzat, erdigunetik \(r\) distantziara dagoen eremu elektrikoa hau da:
\[
E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}
\]
2. Simetria zilindrikoa: Karga-dentsitate lineala duen karga-lerro infinitu baterako, lerrotik r distantziara dagoen eremu elektrikoa hau da:
\[
E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}
\]
3. Simetria planarra: Karga-plano infinitu baterako, gainazaleko karga-dentsitatea \(\sigma\) duena, eremu elektrikoa hau da:
\[
E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}
\]
Potentziala eta Energia Potentziala
Eremu elektrikoekin lotuta dago potentzial elektrikoaren kontzeptua (\(V\)), espazioko puntu jakin batean karga-unitateko energia potentzial elektrikoa adierazten duen eremu eskalarra. Eremu elektriko batean \(A\) eta \(B\) bi punturen arteko potentzial-diferentzia \( \mathbf{E} \) lerro-integralak ematen du:
\[
V_B – V_A = – \int_A^B \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}
\]
non \(d\mathbf{l}\) bide diferentzialaren elementua den
