Posizio bektoreak eztabaidatzen dituzten arazoen adibidea
Bektoreak oinarrizko kontzeptuak dira matematikan eta fisikan, kantitateak norabide eta magnitudearekin adierazten dituztenak. Hainbat aplikaziotan, bektoreak posizioa, abiadura, indarra eta beste hainbat parametro deskribatzeko erabiltzen dira. Bektore mota desberdinen artean, posizio bektoreek funtsezko zeregina dute espazioko puntu baten kokapena mapatzerakoan.
Posizio bektorearen definizioa
Posizio bektore bat koordenatu-sistema batean jatorriarekiko puntu baten kokapena deskribatzen duen bektore bat da. Oro har, posizio bektore bat koordenatu kartesiar moduan idazten da honela:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Hemen, \(\mathbf{r}\) posizio bektorea da, \(x\), \(y\) eta \(z\) bere osagaiak dira \(x\), \(y\) eta \(z\) ardatzetan zehar, hurrenez hurren, eta \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) eta \(\mathbf{k}\) koordenatu-ardatzekiko paraleloak diren unitate-bektoreak dira, hurrenez hurren. Bi dimentsioko espazioan, \(z\) osagaia ez da normalean existitzen, beraz, posizio bektorea hau da:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Posizio bektorearen aplikazioak
Adibidez, fisikan, posizio bektoreek funtsezko zeregina dute objektuen mugimendua deskribatzerakoan. Objektu baten jatorriarekiko (erreferentzia puntuarekiko) posizioa posizio bektore baten bidez adieraz daiteke. Gainera, ingeniaritza mekanikoan, indar eta momentuen kalkuluek askotan posizio bektoreak erabiltzen dituzte.
Posizio bektoreen adibideak eta eztabaida
1. galdera
Demagun bi puntu daudela 3D espazioan, A puntua \( (1, 2, 3) \) koordenatuak dituena eta B puntua \( (4, 0, -2) \) koordenatuak dituena. Zehaztu A eta B puntuen posizio bektoreak. Horrez gain, kalkulatu A puntua B puntuarekin lotzen duen bektorea.
Eztabaida:
A punturako posizio bektorea:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
B punturako posizio bektorea:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Ondoren, A puntua B puntuarekin lotzen duen bektorea aurkitzeko (\(\mathbf{AB}\) deiturikoa), A-ren posizio bektorea B-ren posizio bektoreari kendu behar diogu:
\[ AB = r_B – r_A ]
Beraz, goiko bi posizio bektoreak ordezkatuz:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Beraz, A puntua B puntuarekin lotzen duen bektorea \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) da.
2. galdera
P puntu bat 2D planoan \((2, 3)\)-n badago, aurkitu \(\mathbf{r_P}\) posizio bektorearen luzera (norma).
Eztabaida:
P puntuaren posizio bektorea:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Posizio bektorearen \(\mathbf{r_P}\) luzera bektore-normaren (edo luzeraren) formula erabiliz kalkula daiteke:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Ordezkatu \(x\) eta \(y\) balioak:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Beraz, posizio bektorearen \(\mathbf{r_P}\) luzera \(\sqrt{13}\) da.
3. galdera
Demagun Q puntu bat \( (5, -4, 2) \) puntuan dagoela. Aurkitu \(\mathbf{r_Q}\) posizio bektorearen eta \(x\) ardatzaren arteko angelua.
Eztabaida:
Q puntuaren posizio bektorea:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
\(\mathbf{r_Q}\) bektorearen eta \(x\) ardatzaren arteko angelua aurkitzeko, biderkadura eskalarraren kontzeptua erabil dezakegu. Lehenik, \(\mathbf{r_Q}\) eta \(\mathbf{i}\) arteko biderkadura eskalarra zehaztuko dugu:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
\(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\) eta \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\) direnez, orduan:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\)-ren araua:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\)-ren norma 1 da, \(\mathbf{i}\) bektore unitarioa delako.
Erabili biderkadura eskalarraren formula θ angelua aurkitzeko:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
5 = 3\sqrt{5} \cos\theta
\[ \cos θ = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ cos θ = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ cos θ = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos θ = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Beraz, posizio bektorearen (r_Q) eta (x) ardatzaren arteko angelua (θ) hau da:
\[ θ = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Ondorioa
Posizio bektoreek funtsezko zeregina dute zientzian eta ingeniaritzan, batez ere objektuen posizioa koordenatu-espazioan mapatzerakoan. Goiko adibideek posizio bektoreak, haien luzerak eta haien eta koordenatu-ardatzen arteko angeluak nola kalkulatu erakusten dute. Oinarrizko kontzeptu hauek ulertzea oso baliotsua da matematikan eta fisikan espazioa eta koordenatuak dituzten hainbat arazo konpontzeko.
