Zutabe bektoreei eta errenkada bektoreei buruzko galdera-adibideak
Matematikan, batez ere aljebra linealean, bektoreak oinarrizko kontzeptu bat dira, hainbat aplikaziotan maiz erabiltzen dena, fisikako modelizaziotik hasi eta konputazioraino. Zutabe bektoreak eta errenkada bektoreak bektoreen irudikapenaren bi modu dira, bakoitza bere ezaugarri eta erabilerarekin. Artikulu honek zutabe bektoreak eta errenkada bektoreak inplikatzen dituzten adibide problemak eta haien irtenbideak aztertuko ditu.
Zutabe bektorearen eta errenkada bektorearen definizioa
Adibide-galderetan eta haien eztabaidan sartu aurretik, lehenik zutabe-bektoreen eta errenkada-bektoreen oinarrizko definizioak berrikusiko ditugu.
– Zutabe bektoreak zutabe batean antolatutako bektoreak dira, hau da, dimentsio bertikal batean. Adibidea:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Lerro-bektoreak lerroka antolatutako bektoreak dira, hau da, dimentsio horizontal batean. Adibidea:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
1. adibidea: Zutabe bektoreak gehitzea
Galdera:
Emanik honako bi zutabe-bektore hauek:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Kalkulatu bi zutabe-bektoreen batura.
Irtenbidea:
Bi zutabe-bektoreren batuketa dagokien elementuak batuz egiten da.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Beraz, \(\mathbf{u}\) eta \(\mathbf{v}\)-ren batura \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) da.
2. galderaren adibidea: Lerro-bektoreak gehitzea
Galdera:
Bi errenkada bektore hauek emanda:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Kalkulatu bi errenkada bektoreen batura.
Irtenbidea:
Bi errenkada bektoreen batuketa dagokien elementuak batuz egiten da.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 eta 4 eta 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 eta 3 eta 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 eta 4 + 3 eta 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 eta 7 eta 11 \end{pmatrix}
\]
Beraz, \(\mathbf{a}\) eta \(\mathbf{b}\)-ren batura \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) da.
3. adibidea: Zutabe bektoreen bidezko biderketa eskalarra
Galdera:
Zutabe bektore bat \(\mathbf{c}\) eta eskalar bat \(k\) emanda:
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Kalkulatu biderketa eskalarren emaitza.
Irtenbidea:
Zutabe-bektore batekin biderketa eskalarra bektorearen elementu bakoitza eskalar batekin biderkatuz egiten da.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \t -3 \t
2 aldiz 4
2 × 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Beraz, eskalarra \(2\) zutabe bektorearekin \(\mathbf{c}\) biderkatzearen emaitza \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) da.
4. galderaren adibidea: Biderketa eskalarra errenkada bektoreen bidez
Galdera:
Errenkada bektore bat \(\mathbf{d}\) eta eskalar bat \(m\) emanda:
\[
d = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, m = -3
\]
Kalkulatu biderketa eskalarren emaitza.
Irtenbidea:
Errenkada-bektore batekin biderketa eskalarra bektorearen elementu bakoitza eskalar batekin biderkatuz egiten da.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Beraz, eskalarra \(-3\) errenkada bektorearekin \(\mathbf{d}\) biderkatzearen emaitza \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) da.
5. adibidea: Matrizearen \(1 \times 3\) biderketa \(3 \times 1\) (errenkada bektorea zutabe bektorearekin)
Galdera:
\(\mathbf{e}\) errenkada-bektore bat eta \(\mathbf{f}\) zutabe-bektore bat emanda:
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 eta 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Kalkulatu bi bektoreen biderkadura.
Irtenbidea:
Matrizearen biderketa egiteko, errenkada bektorea \(\mathbf{e}\) \(1 \times 3\) matrize gisa tratatzen da, eta zutabe bektorea \(\mathbf{f}\) \(3 \times 1\) matrize gisa tratatzen da. Biderketa honen emaitza eskalar bat da, hau da, dagokien elementuen biderkaduren batura:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 eta 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 × 5) + (-1 × 3) + (4 × -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Beraz, errenkada bektorea \(\mathbf{e}\) zutabe bektorea \(\mathbf{f}\)rekin biderkatzearen emaitza \(-1\) da.
6. adibidea: Matrizea \(3 \times 1\) \(1 \times 3\)-rekin biderkatzea (Zutabe bektorea errenkada bektorearekin)
Galdera:
Zutabe bektore bat \(\mathbf{g}\) eta errenkada bektore bat \(\mathbf{h}\) emanda:
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Kalkulatu bi bektoreen biderkadura.
Irtenbidea:
Zutabe-bektore baten eta errenkada-bektore baten arteko matrize-biderketak (\(3 \times 1\)) matrizea sortzen du, (\(1 \times 3\))-rekin biderkatuta, eta horrek \(3 \times 3\) matrizea sortzen du. Elementu berri bakoitza dagokion elementuen biderkadura da:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 eta 5 eta 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 × 4 eta 1 × 5 eta 1 × 6
2 × 4 eta 2 × 5 eta 2 × 6
3 × 4 eta 3 × 5 eta 3 × 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 eta 5 eta 6 \\
8 eta 10 eta 12 \\
12 eta 15 eta 18
\end{pmatrix}
\]
Beraz, zutabe bektorea \(\mathbf{g}\) errenkada bektorea \(\mathbf{h}\)rekin biderkatzearen emaitza matrizea da:
\[
\begin{pmatrix}
4 eta 5 eta 6 \\
8 eta 10 eta 12 \\
12 eta 15 eta 18
\end{pmatrix}
\]
Ondorioa
Artikulu honetan zehar, zutabe eta errenkada bektoreekin lotutako hainbat adibide ikusi ditugu. Zutabe eta errenkada bektoreen batuketa dagokien elementuak batuz lortzen da. Bektore baten bidezko biderketa eskalarra ere bektorearen elementu bakoitza eskalarrarekin biderkatuz lortzen da. Azkenik, errenkada eta zutabe bektoreak nola biderkatu ikasi dugu, eskalar edo matrize bat lortuz, haien ordenaren arabera. Oinarrizko eragiketa hauek menperatzea ezinbestekoa da aljebra linealeko eta datuen analisiko aplikazio konplexuagoetarako.
