Funtzio aljebraiko baten deribatuari buruzko eztabaida-galdera baten adibidea
Kalkuluan deribatua funtzio bat nola aldatzen den edo puntu batean funtzio baten malda deskribatzeko erabiltzen den oinarrizko kontzeptua da. Deribatuak hainbat arlotan erabilgarriak dira, hala nola fisikan, ekonomian eta ingeniaritzan, aldaketa-tasari buruzko informazioa ematen baitute. Artikulu honetan, funtzio aljebraikoen deribatuen hainbat adibide eta nola ebatzi aztertuko ditugu.
1. adibidea: Funtzio polinomialen deribatua
Galdera: ∫(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 funtzioa emanda. Zehaztu funtzioaren deribatua!
Irtenbidea:
Funtzio polinomialetarako deribatuen oinarrizko araua erabiliz, hau da, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), funtzioaren termino bakoitzaren deribatua banan-banan kalkulatuko dugu.
\[
\begin{lerrokatu}
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 ∫3x^{3-1} – 5 ∫2x^{2-1} + 2 ∫1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{lerrokatu}
\]
Beraz, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \)-ren deribatua \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) da.
2. adibidea: Berretzaile zatikiak dituen funtzio baten deribatua
Galdera: Zehaztu g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} funtzioaren deribatua.
Irtenbidea:
Deribazio-arau bera erabiliz, hau da, \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{lerrokatu}
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{lerrokatu}
\]
Beraz, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \)-ren deribatua \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) da.
3. adibidea: Funtzio esponentzial eta trigonometrikoen deribatuak
Galdera: Zehaztu h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) funtzioaren deribatua.
Irtenbidea:
Deribatu hau ebazteko, Produktuaren Araua behar dugu, eta honek \((uv)' = u'v + uv'\) dio. Demagun \( u(x) = e^x \) eta \( v(x) = \sin(x) \) direla, orduan:
\[
\begin{lerrokatu}
u'(x) &= e^x, & \text{zeren } e^x \text{-ren deribatua } e^x \\ baita
v'(x) &= \cos(x), & \text{sin(x)\text{-ren deribatua } \cos(x) delako.
\end{lerrokatu}
\]
Produktuetarako eratorritako araua erabiliz:
\[
\begin{lerrokatu}
h'(x) &= (e^x ∫sin(x))' \\
&= e^x ∫(sin(x))' + sin(x) ∫(e^x)'
&= e^x ∫cos(x) + sin(x) ∫e^x
& = e^x (cos(x) + sin(x)).
\end{lerrokatu}
\]
Beraz, \( h(x) = e^x \sin(x) \)-ren deribatua \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) da.
4. adibidea: Funtzio baten deribatua kate-araua erabiliz
Galdera: Zehaztu k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 funtzioaren deribatua.
Irtenbidea:
Deribatu hau ebazteko, kate-araua behar dugu, hau da, \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Demagun \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) eta \( f(u) = u^5 \), orduan:
\[
\begin{lerrokatu}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{beraz} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{lerrokatu}
\]
Kate-araua erabiliz:
\[
\begin{lerrokatu}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{lerrokatu}
\]
Beraz, \(k(x) = (3x^2 – x + 4)^5\)-ren deribatua \(k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1)\) da.
5. adibidea: Identitate trigonometrikoak dituen funtzio baten deribatua
Galdera: Zehaztu m(x) = sin(x) cos(x) funtzioaren deribatua.
Irtenbidea:
Deribatuen araua erabiliko dugu produktuetarako. Demagun \( u(x) = \sin(x) \) eta \( v(x) = \cos(x) \) direla, orduan:
\[
\begin{lerrokatu}
u'(x) &= ∫cos(x), \\
v'(x) & = -sin(x) da.
\end{lerrokatu}
\]
Produktuetarako eratorritako araua erabiliz:
\[
\begin{lerrokatu}
m'(x) &= (sin(x) ∫cos(x))' \\
&= (sin(x))' cos(x) + sin(x) (cos(x))'
&= cos(x) ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ (-sin(x))
& = cos²(x) – sin²(x).
\end{lerrokatu}
\]
Identitate trigonometrikoa erabiliz (\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)):
\[
m'(x) = ∫cos(2x).
\]
Beraz, (m(x) = sin(x)⁻cos(x)⁻¹ funtzioaren deribatua (m'(x) = cos(2x)⁻¹ da).
Ondorioa
Funtzio aljebraiko baten deribatua kalkuluan oinarrizko kontzeptua da, oso garrantzitsua eta erabilgarria hainbat aplikaziotan. Deribazio-arau batzuek, hala nola oinarrizko deribatu-araua, produktu-araua, kate-araua eta deribatu trigonometrikoen arauak, funtzio konplexuagoen deribatuak kalkulatzen laguntzen dute. Goiko adibideak ulertuz eta problemak praktikatuz, funtzio aljebraikoen deribatuak kalkulatzeko dugun ulermena eta trebetasunak hobetu ditzakegu.
