Plano kartesiarrean eraldaketa eztabaidatzen duten galdera-adibideak
Plano kartesiarreko eraldaketak gai garrantzitsua dira matematikan, batez ere geometrian. Eraldaketa hauek hainbat eragiketa dakartzate, hala nola translazioa, islapena, errotazioa eta dilatazioa, eta horien helburua objektu bat bi dimentsioko plano batean mugitzea edo forma aldatzea da. Artikulu honek hainbat arazo-adibide aztertuko ditu eta plano kartesiarreko eraldaketarekin lotuta eztabaidatuko ditu.
Eraldaketa motak
Adibide-arazoari ekin aurretik, lehenik eta behin, eraldaketa mota hauek aztertuko ditugu:
1. Itzulpena (Maiusua)
Translazioa plano bateko puntu edo objektu bat distantzia jakin batean eta norabide jakin batean mugitzea da. Translazioa honela defini daiteke:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
non \(a\) eta \(b\) desplazamendu horizontal eta bertikalaren distantziak diren.
2. Hausnarketa
Islapena puntu edo objektu baten ardatz baten zeharreko islapena da, x ardatza, y ardatza edo beste lerro bat izan. Adibidez, x ardatzaren zeharreko islapena:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Errotazioa (Biraketa)
Errotazioa puntu edo objektu bat erdiko puntu baten inguruan angelu jakin batez biratzea da. \(\theta\) angelu batez erlojuaren orratzen kontrako biraketa honela adieraz daiteke:
\[
(x, y) \rightarrow (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatazioa (Eskalatzea)
Dilatazioa objektu baten tamaina eskala-faktore jakin baten arabera aldatzea da. Eskala-faktorea \(k\) bada, dilatazioa honela adieraz daiteke:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera: Itzulpena
Galdera:
Egin translazio bat \(A(2, 3)\) puntuan, 5 unitate eskuinera eta 4 unitate gora desplazatuz.
Eztabaida:
\(5\) unitate eskuinera mugitzeak x koordenatua \(5\) handitzea esan nahi du. "4 unitate gora" esaldiak y koordenatua \(4\) handitzea esan nahi du. Mugimenduaren emaitza hau da:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Beraz, translazioaren ondoren \(A(2, 3)\) puntua hau da:
\[
(x+5, y+4) (2+5, 3+4) (7, 7)
\]
Beraz, translazioaren ondoren \(A(2, 3)\) puntua \(A'(7, 7)\) da.
2. galdera: Hausnarketa
Galdera:
Islatu \(B(-4, 7)\) puntua y ardatzaren inguruan.
Eztabaida:
y ardatzaren inguruko hausnarketak x koordenatua jatorrizko x koordenatuaren negatibo bihurtzen du, y koordenatua berdina izaten jarraitzen duen bitartean.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Beraz, islapenaren ondoren \(B(-4, 7)\) puntua hau bihurtzen da:
\[
(x, y) (-(-4), 7) (4, 7)
\]
Beraz, y ardatzaren inguruko islapenaren ondoren \(B(-4, 7)\) puntua \(B'(4, 7)\) da.
3. galdera: Errotazioa
Galdera:
Biratu \(C(1, 2)\) puntua \(90^\circ\) erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan, zentroa jatorrian \((0, 0)\) duela.
Eztabaida:
Erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan 90°-ko biraketa honela adieraz daiteke:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Beraz, errotazioaren ondoren \(C(1, 2)\) puntua hau da:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Beraz, erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan 90°-ko bira baten ondoren \(C(1, 2)\) puntua \(C'(-2, 1)\) da.
4. galdera: Dilatazioa
Galdera:
Zabaldu \(D(3, 4)\) puntua \(k = 2\) eskala-faktore batekin.
Eztabaida:
\(2\) eskala-faktorearekin dilatatzeak bi koordenatuak \(2\)z biderkatzea esan nahi du.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Beraz, dilatazioaren ondoren \(D(3, 4)\) puntua hau da:
\[
(x, y) \rightarrow (2 × 3, 2 × 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Beraz, \(D(3, 4)\) puntua \(2\) eskala faktorearekin dilatatu ondoren \(D'(6, 8)\) da.
5. galdera: Eraldaketa konbinazioa
Galdera:
Islatu x ardatzaren inguruan eta gero zabaldu eskala faktore batekin \(k = 0.5\) \(E(8, -6)\) puntuan.
Eztabaida:
Lehen urratsa x ardatzaren inguruan hausnartzea da:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Bigarren urratsa \(0.5\) eskala-faktorearekin dilatazio bat egitea da:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 × 8, 0.5 × 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Beraz, x ardatzaren inguruko islapenaren eta eskala faktorearen \(0.5\) bidezko dilatazioaren ondoren \(E'(4, 3)\) puntua da.
6. galdera: Errotazio eta translazio bidezko eraldaketa
Galdera:
Biratu \(F(-3, 4)\) puntua \(180^\circ\) erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan, eta gero translatu emaitza \((2, -1)\) bektorearekin.
Eztabaida:
Lehen urratsa erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan \(180^\circ\) biratzea da:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Bigarren urratsa \((2, -1)\) bektorearekin translazio bat egitea da:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Beraz, \(F(-3, 4)\) puntua \(180^\circ\) biraketa egin eta \((2, -1)\) bektorearen bidezko translazioaren ondoren \(F'(5, -5)\) da.
Ondorioa
Plano kartesiarreko eraldaketak kontzeptu garrantzitsua dira geometrian, hainbat eragiketa barne hartzen baitituzte, hala nola translazioa, islapena, biraketa eta dilatazioa. Eraldaketa mota bakoitzak nola funtzionatzen duen ulertuz, objektu baten posizioa edo forma erraz alda dezakegu planoan. Goiko adibideen bidez, hainbat eraldaketaren aplikazio praktikoak ikus ditzakegu eta nola konbina daitezkeen eraldaketa konplexuagoak lortzeko. Zorionez, artikulu hau lagungarria izan da plano kartesiarreko eraldaketak ulertzeko.
