Ekuazio linealen eta desberdintasunen sistemei buruzko galdera-adibideak
Ekuazio linealen eta desberdintasunen sistemak gai garrantzitsua dira matematikan, eta aplikazio zabala dute hainbat arlotan, hala nola ekonomian, zientzian eta ingeniaritzan. Artikulu honetan, ekuazio linealen eta desberdintasunen sistemak dituzten arazoen adibideak aztertuko ditugu, eta nola ebatzi zehatz-mehatz.
Ekuazio Linealen Sistema baten Definizioa
Ekuazio linealen sistema bat elkarren artean erlazionatutako bi ekuazio lineal edo gehiagoz osatuta dago. Adibideak hauek dira:
\[
\begin{kasuak}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{kasuak}
\]
Sistema hau ebaztearen helburua bi ekuazioak aldi berean betetzen dituzten \(x\) eta \(y\) balioak aurkitzea da.
Ekuazio Linealen Sistemak Ebazteko Metodoak
Ekuazio linealen sistemak ebazteko hainbat metodo daude, besteak beste:
1. Ordezkapen metodoa
2. Ezabatzeko metodoa
3. Matrizearen metodoa (alderantzizkoa edo Gauss-Jordan)
1. galderaren adibidea: Ordezkapen metodoa
Ebatzi dezagun hurrengo sistema ordezkapen metodoa erabiliz:
\[
\begin{kasuak}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{kasuak}
\]
Urratsak:
1. Ekuazio bateko aldagai bat isolatu.
Lehenengo ekuaziotik, \(x\) isolatzen dugu:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Ordezkatu aurkitutako adierazpena beste ekuazioan.
Ordezkatu \(x = 10 – 2y\) bigarren ekuazioan:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Ebatzi \(y\) honetarako:
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Erabili aurkitutako balioak beste aldagai batzuk aurkitzeko.
Ordezkatu berriro \(y = \frac{25}{7}\) \(x\-ren adierazpenean:
\[
x = 10 – 2(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Beraz, sistemaren soluzioak hauek dira: \( x = \frac{20}{7} \) eta \( y = \frac{25}{7} \).
2. galderaren adibidea: Ezabatze-metodoa
Ondoren, ezabatze-metodoa erabiliko dugu hurrengo sistema ebazteko:
\[
\begin{kasuak}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{kasuak}
\]
Kasu honetan, ikusten dugu bigarren ekuazioa lehenengo ekuazioaren multiploa dela. Sistema murrizteko, lehenengo ekuazioa 2z biderkatu eta gero bigarren ekuaziotik kendu dezakegu:
1. Biderkatu lehenengo ekuazioa 2z:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Kendu biderkatutako lehenengo ekuazioa bigarren ekuaziotik:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Horrek \(0 = 0\) ematen du, eta horrek adierazten du sistemak infinitu soluzio dituela eta ekuazio hauek menpekoak direla.
3. galderaren adibidea: Desberdintasun linealak
Desberdintasun linealek ekuazio linealen antzeko printzipioak jarraitzen dituzte, baina desberdintasun zeinuak erabiltzen dituzte, hala nola \(<, \leq, >, \geq\). Ikus dezagun adibide sinple bat:
\[
\begin{kasuak}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Urratsak: 1. Metodo grafikoa erabiltzen dugu sistema honen soluzio-eskualdea zehazteko. Desberdintza bakoitza grafikoki irudikatu. 2. Desberdintza ekuazio bihurtu muga-lerroa zehazteko: \(3x - y < 7\)-rako, muga-lerroa \(3x - y = 7\) da
