Adibide galderak eta eztabaida erlazio trigonometriko mota bat: tan θ
Trigonometria matematikaren adarra da, triangeluen angeluen eta aldeen luzeren arteko erlazioa aztertzen duena. Maiz eztabaidatzen den arrazoi trigonometriko bat tangentea (tan) da. Artikulu honetan, tangente arrazoia hainbat arazo motatan erabiltzean zentratuko gara eta tan θ duten hainbat adibide aztertuko ditugu.
Tan θ-ren definizioa
θ angelu baten tangentea triangelu zuzen batean kontrako aldearen luzeraren eta ondoko aldearen luzeraren arteko erlazio gisa definitzen da. Matematikoki, honela idazten da:
\[ \tan θ = \frac{\text{kontrako aldea}}{\text{ondoko aldea}} \]
Zirkulu unitarioan, tan ere interpreta daiteke zentrotik unitate batera dagoen zirkuluko puntu baten y koordenatuaren (aurrealdea) eta x koordenatuaren (alboko aldea) arteko erlazio gisa.
Tan funtzioa Matematikan eta Fisikan
Trigonometria, bereziki tan funtzioa, hainbat aplikazio matematiko eta fisikotan erabiltzen da. Adibidez, fisika klasikoan, tan funtzioa jaurtigaien mugimenduaren analisian erabiltzen da, eta ingeniaritzan, gainazal baten inklinazio angelua edo gradientea kalkulatzeko.
Galdera eta eztabaida adibideak
Hona hemen galdera batzuen adibidea eta haien eztabaidak, tan θ-ren erabilera sakonago ulertzeko.
1. galdera: Triangelu zuzen baten tan θ kalkulatzea
Emandako: Triangelu zuzen batek θ angeluaren aurkako aurrealdearen luzera 4 cm-koa da eta θ angeluaren ondoko aldearen luzera 3 cm-koa. Kalkulatu tan θ-ren balioa.
Eztabaida:
Erabili tanaren definizioa:
\[ \tan θ = \frac{\text{aurrealdea}}{\text{alboko aldea}} \]
Ordezkatu balio ezagunak:
\[ tan θ = \frac{4}{3} \]
Beraz, tan θ-ren balioa \( \frac{4}{3} \) da.
2. galdera: Alde baten luzera tan θ erabiliz zehaztea
Emandakoa: θ angelua duen triangelu angeluzuzen bat tan θ = 0.75 dela jakina da. θ angeluaren ondoko aldearen luzera 8 cm da. Kalkulatu θ angeluaren aurkako aldearen luzera.
Eztabaida:
Erabili tan-aren definizioa kontrako aldearen luzera aurkitzeko:
\[ \tan θ = \frac{\text{aurrealdea}}{\text{alboko aldea}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{aurrealdea}}{8} \]
Biderkatu bi aldeak 8z ekuazioa ebazteko.
\[ \text{aurrealdea} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{aurrealdea} = 6 cm \]
Beraz, aurrealdeko luzera 6 cm-koa da.
3. galdera: θ angelua kalkulatzea tan θ ezaguna bada
Emandakoa: Triangelu angeluzuzen bat tan θ = 1 dela jakina da. Izendatu θ angelua.
Eztabaida:
Angelu baten tangentea 1 da aurkako aldea eta ondoko aldea luzera berdina dutenean. Oinarrizko trigonometrian, hau 45°-ko angelu batean gertatzen da.
Beraz, θ-ren balioa 45° da.
4. galdera: Tan θ erabiltzea aljebra-problemetan
Emandakoa: Soka bat 15 metroko altuera duen haga baten goialdetik hagaren oinarritik 20 metrora dagoen lurrean dagoen puntu batera lotzen da. Kalkulatu tan θ, non θ sokak eta hagak osatzen duten angelua den.
Eztabaida:
Erabili tanaren definizioa:
\[ \tan θ = \frac{\text{aurrealdea (poloaren altuera)}}{\text{alboko aldea (distantzia horizontala)}} \]
\[ tan θ = \frac{15}{20} \]
Sinplifikatu zatikia:
\[ tan θ = \frac{3}{4} \]
Beraz, tan θ-ren balioa \( \frac{3}{4} \) da.
5. galdera: Altuera distantziatik eta inklinazio angelutik zehaztea
Emandakoa: Behatzaile bat eraikin altu batetik 100 metrora dago. Behatzailearen posiziotik eraikinaren goialderainoko behaketaren tan θ \(\tan 30^\circ\) da. Zehaztu eraikinaren altuera.
Eztabaida:
Jakina da \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) dela.
\[ \tan θ = \frac{\text{aurrealdea (eraikinaren altuera)}}{\text{alboaldea (distantzia)} } \]
Txertatu balio ezagunak ekuazioan
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{eraikinaren altuera}}{100} \]
Biderkatu bi aldeak 100ez altuera isolatzeko.
\[ \text{eraikinaren altuera} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{eraikinaren altuera} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{eraikinaren altuera} ≈ 57.73 \text{metro} \]
Beraz, eraikinaren altuera gutxi gorabehera 57.73 metrokoa da.
6. galdera: Angelua altuera eta distantziatik zehaztea
Emandakoa: Badakizu dorre baten altuera 50 metrokoa dela eta behaketa puntutik dorrearen behealderainoko distantzia horizontala 70 metrokoa dela. Zehaztu dorrearen goialdearekiko kota angelua.
Eztabaida:
\[ \tan θ = \frac{\text{dorrearen altuera}}{\text{distantzia horizontala}} \]
\[ tan θ = \frac{50}{70} \]
\[ tan θ = \frac{5}{7} \]
θ aurkitzeko, tan⁻¹ edo arctan erabiltzen dugu alderantzizko tangente funtzioa.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Kalkulagailu bat edo trigonometria taula bat erabiliz, θ-ren balioa aurki dezakegu.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Beraz, dorrearen goialdearekiko kota-angelua 35.54° ingurukoa da.
Ondorioa
Trigonometria tresna indartsua da zientziaren arlo askotan. Tangentea, adibidez, erlazio sinple baina indartsua da, angeluak eta aldeen luzerak dituzten hainbat problema konpontzeko erabil daitekeena. Bere definizioa eta nola erabili ulertuz, geometria eta fisikako arazo ugari konpondu ditzakegu. Goiko adibidea bezalako problemak praktikatuz, tan θ eguneroko kalkuluetan erabiltzeko trebetasun handiagoa izan dezakegu.
