Errotazio matematikoari buruzko arazoen adibideak
Pendahuluan
Errotazioa matematikan, batez ere geometrian, maiz aurkitzen den eraldaketa geometrikoa da. Errotazioak objektu bat puntu zehatz baten inguruan (errotazio-zentroa) angelu zehatz batean biratzea dakar, erlojuaren orratzen noranzkoan edo kontrako noranzkoan. Errotazioaren kontzeptuaren aplikazioa funtsezkoa da ordenagailu bidezko grafikoetan, fisikan eta ingeniaritzan bezalako arloetan. Artikulu honek matematikan errotazioari buruzko hainbat adibide eta eztabaida aztertuko ditu.
Errotazioa ulertzea
Errotazioa objektu baten puntu guztiak angelu jakin bat eta norabide jakin batean puntu finko baten inguruan biratuz mugitzen dituen eraldaketa bat da, errotazio-zentroa deritzon puntu finko baten inguruan biratuz. θ angelua eta (a, b) errotazio-zentroa dituen errotazio baten notazio orokorra R_(a, b)(θ) bezala idatz daiteke.
θ gradu biratu den P(x, y) puntu batentzat, errotazio-zentroa jatorrian (0, 0) duela, P'-ren (x', y') koordenatu berriak errotazioaren ondoren formula hau erabiliz lortuko dira:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Jarrai dezagun errotazio-problemen adibide batzuekin, haien eztabaidekin osatuta.
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu A(3, 4) puntuaren koordenatu berriak, errotazio-zentroa jatorrian (0, 0) duela 90 gradu erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan biratu ondoren.
Eztabaida: Errotazio-formula erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan 90 graduko angeluarekin erabiltzea:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Beraz, A'-ren koordenatu berriak biraketaren ondoren (-4, 3) dira.
2. galderaren adibidea
Galdera: B(2, -1) puntua 180 gradu biratzen da erlojuaren orratzen noranzkoan, biraketa-zentroa jatorrian (0, 0) mantenduz. Zehaztu B puntuaren koordenatu berriak biraketaren ondoren.
Eztabaida: 180 graduko biraketak, erlojuaren orratzen noranzkoan edo kontrakoan, emaitza bera ematen du, hots, puntuaren koordenatuak (-x, -y) bihurtzen dira.
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Beraz, B'-ren koordenatu berriak (-2, 1) dira.
3. galderaren adibidea
Galdera: C(-3, 5) puntu bat 270 gradu biratzen da erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan, errotazio-zentroa (0, 0) jatorrian duela. Zehaztu C puntua biraketaren ondoren.
Eztabaida: 270 graduko erlojuaren orratzen noranzkoaren aurkako biraketa 90 graduko erlojuaren orratzen noranzkoan biratzearen baliokidea da.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Beraz, C'-ren koordenatu berriak biraketaren ondoren (5, -3) dira.
4. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu D(5, 5) puntuaren koordenatu berriak, errotazio-zentroa jatorrian (0, 0) duela 45 gradu biratu ondoren.
Eztabaida: 45 graduko angeluarekin biraketa-formula erabiliz:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Beraz, D'-ren koordenatu berriak biraketaren ondoren (0, 5√2) dira.
Errotazioa errotazio-zentroa jatorrian ez dagoelarik
Biraketak ez dira beti jatorriaren inguruan egiten. Adibidez, demagun errotazio-zentroa (h, k) duen puntu bat biratu nahi dugula. Horretarako, koordenatuak honela doitu behar ditugu:
1. Translatu puntua (h, k) jatorria izan dadin.
2. Erabili errotazio-formula.
3. Jatorrizko posiziora itzuli.
5. galderaren adibidea
Galdera: E(5, 7) puntua 90 gradu biratzen da erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan, errotazio-zentroa (2, 3) puntuan duela. Zehaztu E puntuaren koordenatu berriak biraketaren ondoren.
Eztabaida:
1. E puntua jatorrira eraman biraketa-zentroarekiko (2, 3):
– E' puntu berria = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Biratu 90 gradu erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan puntu berriaren inguruan:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Beraz, biraketaren ondorengo koordenatuak (-4, 3) dira.
3. Errotazio-zentroarekiko jatorrizko posiziora itzultzea (2, 3):
– Amaierako puntua E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Beraz, E puntuaren koordenatu berriak biraketa egin ondoren (-2, 6) dira.
Ondorioa
Matematika-errotazioak aztertzea eta ulertzea ezinbestekoa da hainbat aplikaziotan. Goiko adibideen eta eztabaiden bidez, irakurleek errotazio-formulak nola funtzionatzen duten eta nola aplika daitezkeen egoera desberdinetan ulertzea espero da. Ariketa honek ez ditu oinarrizko matematikak indartzen bakarrik, baita eraldaketa geometrikoak dakartzaten beste arlo batzuetan ere erabilgarria da.
