Hazkunde esponentzialari buruzko galdera-adibideak
Hazkunde esponentziala kontzeptu gakoa da hainbat arlotan, besteak beste, ekonomian, biologian, negozioetan eta fisikan. Eguneroko bizitzan, hazkunde esponentziala dakarten egoerekin topo egiten dugu maiz, hala nola, giza biztanleriaren hazkundea, inflazioaren ondorioz balio nominalen debaluazioa, birusen hedapena eta beste hainbat. Artikulu honek hazkunde esponentzialarekin lotutako hainbat arazo eta irtenbide aztertuko ditu, irakurleei kontzeptu hau hobeto ulertzen laguntzeko.
Hazkunde esponentzialaren oinarrizko kontzeptuak
Hazkunde esponentziala denbora-unitateko tasa konstantean gertatzen den hazkunde gisa definitzen da. Matematikoki, hazkunde esponentziala ekuazio honen bidez defini daiteke:
N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}
Non:
– \( N(t) \) \( t \) unean batura da
– \( N_0 \) hasierako zenbakia da
– \(k\) hazkunde-tasa da
– \(t \) denbora da
– \(e \) Eulerren zenbakia da (2.718 inguru)
\(k\)-ren balioa positiboa bada, orduan hazkunde esponentziala dugu. Alderantziz, \(k\) negatiboa bada, uzkurdura esponentziala dugu.
1. galderaren adibidea: Biztanleriaren hazkundea
Galdera
Hiri batek 100,000 biztanleko hasierako biztanleria du. Hiriko biztanleria urtean % 2ko hazkunde esponentzialean hazten bada, zenbateko biztanleria izango du hiriak 10 urte igaro ondoren?
Penyelesaiarra
Lehenik eta behin, balio ezagunak identifikatu behar ditugu:
– \(N_0 \) = 100,000
– \(k\) = % 2 urtean = 0.02
– \(t \) = 10 urte
Hazkunde esponentzialaren formula erabiliko dugu:
N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}
Txertatu balio ezagunak formulan:
N(10) = 100,000 ∫e^{0.02 ∫10}
N(10) = 100,000 \cdot e^{0.2} \]
\(e^{0.2} \)-ren gutxi gorabeherako balioa 1.2214 da.
\[ N(10) = 100,000 \cdot 1.2214 \]
\[ N(10) = 122,140 \]
Beraz, hiriko biztanleria 10 urteren buruan 122,140 pertsona ingurukoa da.
-
2. galderaren adibidea: Inbertsioaren balioa
Galdera
5,000 $ sartzen dituzu urtean % 5eko interesa ordaintzen duen kontu batean. Zenbat balioko dute zure aurrezkiek 15 urte igaro ondoren?
Penyelesaiarra
Balioak identifikatu:
– \(N_0 \) = 5,000
– \(k\) = % 5 urtean = 0.05
– \(t \) = 15 urte
Hazkunde esponentzialaren formula erabiliz:
N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}
Sartu balio ezagunak:
N(15) = 5,000 ∫e^{0.05 ∫15}
N(15) = 5,000 \cdot e^{0.75} \]
Hurbilketa \(e^{0.75} \) 2.117 ingurukoa da.
\[ N(15) = 5,000 \cdot 2.117 \]
\[ N(15) = 10,585 \]
Beraz, zure aurrezkien balioa 15 urteren buruan 10,585 $ ingurukoa da.
-
3. adibidea: Autoaren amortizazioa
Galdera
30,000 dolarreko auto berri baten balioa esponentzialki jaisten da, urtean % 12ko tasarekin. Zenbat balioko du autoak 5 urte igaro ondoren?
Penyelesaiarra
Balioak identifikatu:
– \(N_0 \) = 30,000
– \(k\) = -% 12 urtean = -0.12
– \(t \) = 5 urte
Hazkunde esponentzialaren formula erabiliz:
N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}
Sartu balio ezagunak:
\[ N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.12 \cdot 5} \cdot
N(5) = 30,000 \cdot e^{-0.6}
Hurbilketa \(e^{-0.6} \) 0.5488 ingurukoa da.
\[ N(5) = 30,000 \cdot 0.5488 \]
\[ N(5) = 16,464 \]
Beraz, autoaren balioa 5 urteren buruan 16,464 dolar ingurukoa da.
-
4. galderaren adibidea: Birusen hedapena
Galdera
Hasieran 200 biztanleko herri bat birus batekin kutsatzen da eguneko % 15eko hazkunde esponentzialarekin. Zenbat pertsona kutsatu dira guztira 7 egun igaro ondoren?
Penyelesaiarra
Balioak identifikatu:
– \(N_0 \) = 200
– \(k\) = eguneko % 15 = 0.15
– \(t\) = 7 egun
Hazkunde esponentzialaren formula erabiliz:
N(t) = N_0 ⋅ e^{kt}
Sartu balio ezagunak:
N(7) = 200 ∫e^{0.15 ∫7}
N(7) = 200 \cdot e^{1.05} \]
Hurbilketa \(e^{1.05} \) 2.857 ingurukoa da.
\[ N(7) = 200 \cdot 2.857 \]
\[ N(7) = 571.4 \]
Beraz, 7 egun igaro ondoren kutsatutako pertsona kopuru osoa 571 pertsona ingurukoa da.
-
Hazkunde esponentzialarekin lotutako arazo eta eztabaiden adibideak dira hauek. Hazkunde esponentzialaren arazoak nola konpondu ulertzea oso erabilgarria izan daiteke hainbat aplikazio praktikotan. Nahikoa praktikarekin, kontzeptu hau erraz menperatu eta behar den moduan aplikatu daiteke.
