Zirkulu baten ekuazioari buruzko eztabaida-galdera baten adibidea
Zirkulu baten ekuazioa gai garrantzitsua da geometria analitikoan. Zirkulu baten ekuazioa ondo ulertzea oso erabilgarria da, ez bakarrik matematikan, baita hainbat ingeniaritza eta zientzia aplikaziotan ere. Artikulu honetan, zirkulu baten ekuazioen hainbat adibide eta haien ebazpenak aztertuko ditugu. Helburua zirkulu baten ekuazioekin lotutako problemak nola ebazten diren ikuspegi argi eta osoa ematea da.
Zirkulu baten ekuazio orokorra
Koordenatu kartesiarretan zirkulu baten ekuazio ohikoena hau da:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Non:
– \( (a, b) \) zirkuluaren zentroaren koordenatuak dira.
– \(r\) zirkuluaren erradioa da.
Zirkuluaren zentroa \((0, 0)\) puntuan badago, zirkuluaren ekuazioa hau izango da:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Orain, adibide batzuk eta haien irtenbideak aztertuko ditugu.
1. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu (3, -2) puntuan zentroa duen eta 5 erradioa duen zirkulu baten ekuazioa.
Irtenbidea:
Erabili zirkulu baten ekuaziorako formula orokorra:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ordezkatu balio hauek: \( a = 3 \), \( b = -2 \) eta \( r = 5 \):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Beraz, zirkuluaren ekuazioa hau da:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
2. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu jatorrian (0, 0) zentroa duen eta 7 erradioa duen zirkulu baten ekuazioa.
Irtenbidea:
Zirkuluaren erdigunea jatorrian dagoenez, ekuazio sinple hau erabil dezakegu:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Ordezkatu balioa \(r = 7\):
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Beraz, zirkuluaren ekuazioa hau da:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
3. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu (4, -5) puntuan zentroa duen eta Y ardatza ukitzen duen zirkulu baten ekuazioa.
Irtenbidea:
Zirkulu ukitzaile batek Y ardatzarekiko esan nahi du zirkuluaren erdigunetik Y ardatzera dagoen distantzia bere erradioaren berdina dela. Distantzia hau zirkuluaren erdigunearen X koordenatuaren balio absolutua da. Beraz, erradioa 4 da.
Erabili zirkulu baten ekuaziorako formula orokorra:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ordezkatu balio hauek: \( a = 4 \), \( b = -5 \) eta \( r = 4 \):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Beraz, zirkuluaren ekuazioa hau da:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
4. galderaren adibidea
Galdera: Zirkulu batek ekuazioa du \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Zehaztu zirkuluaren zentroa eta erradioa.
Irtenbidea:
Ekuazio hau ebazteko, forma estandarrera bihurtu behar dugu \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Osatzeko urratsak hauek dira:
1. Karratu perfektuak taldekatzea eta ebaztea:
Hasierako ekuazioa hau da:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
\(x\) eta \(y\) taldekatu:
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Ebatzi karratu perfektua:
\(x^2 – 6x\)rako:
\[ x^2 – 6x + 9 \]
\(y^2 + 4y\)rako:
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Gehitu 9 eta 4 ekuazioaren bi aldeetara:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Beraz, zirkulu baten ekuazioa forma estandarrean hau da:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Hemendik ikus dezakegu zirkuluaren zentroa \( (3, -2) \) dela eta erradioa \( r = \sqrt{25} = 5 \).
5. galderaren adibidea
Galdera: Zehaztu (2, 3) eta (4, 5) puntuetatik igarotzen den eta x = 3 zuzenaren zentroa duen zirkuluaren ekuazioa.
Irtenbidea:
Galderatik badakigu zirkuluaren zentroa (3, b) dela. Zirkulua ere bi puntu ezagunetatik igarotzen da. Zirkulua (2, 3)tik igarotzen denez, zentrotik puntu horretara dagoen distantzia erradioa da.
Zirkulu baten ekuazioa hau da:
\[ (x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
Ordezkapen puntua (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ (3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Ordezkapen puntua (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ (5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Bi ekuazioetatik, badakigu (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Beraz:
\[ 3 – b = \pm(5 – b) \]
Baldin eta \(3 – b = 5 – b\) bada, emaitza ezin da egia izan. Beraz:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[ b = 4 \]
b = 4 denean, zirkuluaren ekuazioa hau da:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Hala ere, r erradioa kalkula dezakegu zentroaren eta (2, 3) puntuaren arteko distantziatik = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Zirkuluaren ekuazioa hau da:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Ondorioa
Zirkulu baten ekuazioa ulertzeak matematika-problema askoren ebazpena erraztu dezake. Kasu guztietan, zentroa eta erradioa identifikatzea ezinbestekoa da. Zorionez, adibide-problema hauek eta haien azalpenek argibideak emango dizkizute eta zirkulu baten ekuazioa ikasten lagunduko dizute. Praktikak perfektua egiten du matematikan, beraz, ez izan zalantzarik hainbat problema probatzeko zure trebetasunak hobetzeko.
