Zirkuluarekiko zuzen ukitzaile baten ekuazioa eztabaidatzen duten galdera-adibideak
Pendahuluan
Zirkulu baten ukitzailearen ekuazioa gai garrantzitsua da geometria analitikoan. Zirkulu baten ukitzailearen ekuazioa nola zehaztu ulertzeak matematika-problema ugari ebazten lagun dezake maila ertain eta aurreratuetan. Artikulu honek zirkulu baten ukitzailearen ekuazioa zehazteko hainbat adibide-problema eta metodo aztertuko ditu.
Definizioa eta Oinarrizko Teoria
Koordenatu-planoko zirkulu bat normalean ekuazio koadratiko baten bidez adieraz daiteke:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
non \((a, b)\) zirkuluaren erdigunea den eta \(r\) zirkuluaren erradioa.
Zirkulu baten ukitzailea kanpo-puntu batetik zirkulua puntu bakarrean ukitzen duen zuzena da. Zuzenak ekuazio hau duela suposatzen badugu:
\[ y = mx + c \]
orduan, \(y = mx + c\) zuzena zirkuluarekiko ukitzailea izango den baldintza honela adieraz daiteke:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Non \(m\) zuzen ukitzailearen malda den eta \(c\) konstante bat.
Lerro ukitzailearen ekuazioaren formula
\((0,0)\) zentroa eta \(r\ erradioa dituen zirkulu baten ukitzailea bada, zirkuluko \((x_1, y_1)\) puntuan duen ekuazioa hau da:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Baina zirkuluaren erdigunea \((a, b)\) puntuan badago, orduan ekuazioa hau da:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galdera
\((3, 4)\)-n zentroa eta 5 unitateko erradioa duen zirkulu bat. Zehaztu \((6, 8)\) puntutik ukitzaile zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida:
Problema honetan, \((3, 4)\) zentroa eta 5 erradioa dituen zirkulu bat ematen zaigu, eta \((6, 8)\) puntutik ukitzaile zuzenaren ekuazioa aurkitu behar dugu. Hona hemen ebazteko urratsak:
1. Egiaztatu \((6, 8)\) puntua ez dagoela zirkuluaren barruan: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Beraz, puntua zirkuluan dago, beraz, ukitzailea aurkitzeko erabil daiteke.
2. Formula hau erabiliz:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Sinplifikatu ekuazioa:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Garatu:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Lortutako zuzen ukitzailearen ekuazioa hau da:
\[
3x + 4y = 50
\]
2. galdera
Zirkulua \[x^2 + y^2 = 16\] ekuazioarekin. Zehaztu \((4, 0)\) puntutik ukitzen duen zuzenaren ekuazioa.
Eztabaida:
\((0, 0)\)-n zentroa eta 4 unitateko erradioa duen zirkulu bat. Kanpoko puntua \((4, 0)\) da.
1. Zentroa \((0, 0)\) duen zirkulu baten formula erabiliz:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Balio ordezkapena:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Sinplifikatu:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Horrek esan nahi du, dugun ukitzaile ekuazioa hau dela:
\[
x = 4
\]
3. galdera
Eraiki \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) zirkuluarekiko ukitzailea den lerro bat \((-1, 5)\) puntuan.
Eztabaida:
Zirkulu bat, zentroa \((-2, 3)\) eta 3 unitateko erradioa duena. Tangentzia-puntua \((-1, 5)\) da.
1. Egiaztatu puntua zirkuluan dagoela:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{zirkuluan ez dago}
\]
Beraz, baliteke errore bat egotea galdera edo puntua sartzean. \((-2, 6)\) ukitze-puntu gisa ematen bada:
2. Sinplifikatu:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Ordezkapena:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Emaitza:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Badirudi puntu eta pertsona hori:
y = 6 zalantzarik gabe baliozkoa da.
Ondorioen egiaztapen konbinazioa, memorizatu, zenbatzeko 2 modu.
baliozkoa/gezurra..Hori gehi laburpena gar. td 2; forma balioztatu (sareta)-rekin. plis perimetroa estaldura-botoi guztiak.
Hori da dena, eskerrik asko eta espero dut hau lagunentzat baliagarria izatea.
Gainera, ikasi ulermena indartzearen kontzeptua.
Jainkoak nahi badu, lehenago ulertzen ez zutenek urrats kirurgiko kritiko zehatzagoak izango dituzte.
\[
.facts(n+x)=qa.\color{eragozten}-fu.
"
