Gertaera konposatuen probabilitatea eztabaidatzen duten galdera-adibideak
Gertaera Konposatuen Probabilitatearen Sarrera
Probabilitatea matematikaren adarra da, gertaera bat gertatzeko probabilitatea aztertzen duena. Gertaera konposatu baten probabilitatea gertaera bat baino gehiago barne hartzen duen gertaera baten probabilitatea da. Adibidez, dado batean zenbaki bikoiti bat ateratzeko probabilitatea eta karta sorta batetik bateko bat ateratzea gertaera konposatuen adibideak dira. Artikulu honek hainbat problema adibide aztertuko ditu eta gertaera konposatuen probabilitatea aztertuko du.
Gertaera Konposatuen Probabilitatearen Oinarrizko Kontzeptua
Bi gertaera konposatu mota daude:
1. Elkarren artean baztertzen diren gertaerak: Aldi berean gertatu ezin diren bi gertaera. Adibidez, dado bat botatzean, 2 bat eta 5 bat ateratzea elkarren artean baztertzen diren gertaerak dira, bi zenbakiak aldi berean ateratzea ezinezkoa baita.
2. Elkarren artean baztertzaileak ez diren gertaerak: Aldi berean gerta daitezkeen bi gertaera. Adibidez, karta-zozketa batean, bihotz-karta bat (♥) eta 10 zenbakia duen karta bat ateratzearen gertaerak ez dira elkarren artean baztertzaileak, 10 zenbakia duen bihotz-karta bat baitago.
Hona hemen gertaera konposatuen probabilitatea kalkulatzeko erabiltzen diren oinarrizko formula batzuk:
– P(A edo B) (elkarren artean baztertzaileak ez diren gertaeretarako): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A edo B) (elkarren artean baztertzen diren gertaeretarako): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A eta B) (gertaera independenteetarako): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea: Dadoak
Galdera:
Zein da dado batean zenbaki bikoitia edo 4 baino handiagoa den zenbaki bat ateratzeko probabilitatea?
Eztabaida:
Lehenik eta behin, gertaerak definitu ditzagun:
– A gertaera: Zenbaki bikoiti bat lortzea (2, 4, 6)
– B gertaera: 4 baino handiagoa den zenbaki bat lortzea (5, 6)
Ondoren, gertaera bakoitzaren probabilitatea zehaztuko dugu:
– P(A) = 3/6 = 1/2
– P(B) = 2/6 = 1/3
A eta B gertaeretan 6 zenbaki bat dagoenez, \(P(A \cap B)\) kalkulatu behar dugu:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (zenbaki bakarra, hain zuzen ere 6, A eta B-n sartzen delako)
Elkarren artean baztertzaileak ez diren gertaeretarako formula erabiliz:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}
Egin ditzagun zatiki hauen izendatzaileak berdinak:
P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
Beraz, zenbaki bikoitia edo 4 baino handiagoa den zenbaki bat lortzeko probabilitatea \(\frac{2}{3}\) da.
2. galderaren adibidea: Kartak jolasten
Galdera:
Zein da karta-sorta batetik batekoa edo pika bat lortzeko probabilitatea?
Eztabaida:
Lehenik eta behin, gertaerak definitu ditzagun:
– A Gertaera: As karta bat lortzea (guztira 4, bat palo bakoitzeko)
– B gertaera: Pika karta bat lortzea (guztira 13)
Ondoren, gertaera bakoitzaren probabilitatea zehaztuko dugu:
– P(A) = 4/52 = 1/13
– P(B) = 13/52 = 1/4
Piken batekoa A eta B gertaeretan sartuta dagoenez, \(P(A \cap B)\) kalkulatu behar dugu:
– P(A \cap B) = \frac{1}{52}
Elkarren artean baztertzaileak ez diren gertaeretarako formula erabiliz:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}
Egin ditzagun zatiki hauen izendatzaileak berdinak:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Beraz, As bat edo pika bat lortzeko probabilitatea \(\frac{4}{13}\) da.
3. arazoaren adibidea: Kutxa batean dagoen pilota
Galdera:
Kutxa batean 3 bola gorri, 4 bola urdin eta 5 bola berde daude. Ausaz bola bat ateratzen bada, zein da bola gorri bat edo bola berde bat ateratzeko probabilitatea?
Eztabaida:
Lehenik eta behin, gertaerak definitu ditzagun:
– A gertaera: Pilota gorri bat lortzea (3. zenbakia)
– B gertaera: Baloi berde bat lortzea (5. zenbakia)
Ondoren, gertaera bakoitzaren probabilitatea zehaztuko dugu:
– Bola kopuru osoa = 3 + 4 + 5 = 12
– P(A) = 3/12 = 1/4
– P(B) = 5/12
Baloi batek ezin duenez aldi berean gorri eta berde izan, gertaera hauek elkarren artean baztertzaileak dira:
P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Egin ditzagun zatiki hauen izendatzaileak berdinak:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Beraz, pilota gorri bat edo berde bat ateratzeko probabilitatea \(\frac{2}{3}\) da.
4. galderaren adibidea: Bi txanpon
Galdera:
Bi txanpon aldi berean jaurtitzen badira, zein da gutxienez buru bat agertzeko probabilitatea?
Eztabaida:
A gertaera definitzen dugu: gutxienez irudi bat bizitzea.
Bi txanpon jaurtitzean lau emaitza posible daude:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Gutxienez irudi bat duten gertaerak hauek dira:
– HT
– TH
– TT
Kalkula dezagun bakoitzaren probabilitatea:
– Gertaera posibleen kopurua (guztira): 4
– Gutxienez irudi bat duten gertaeren kopurua: 3
\[
P(A) = \frac{Gutxienez buru bat duten gertaeren kopurua}{Gertaera kopuru osoa} = \frac{3}{4}
\]
Beraz, gutxienez irudi bat agertzeko probabilitatea \(\frac{3}{4}\) da.
Ondorioa
Goiko problemen eztabaidak gertaera konposatu baten probabilitatea nola kalkula dezakegun erakusten du, elkarren artean baztertzailea edo ez-baztertzailea izan. Oinarrizko kontzeptuak ulertuz eta formula zuzenak erabiliz, gertaera konbinazio jakin batzuk eguneroko egoera desberdinetan gertatzeko probabilitatea zehaztu dezakegu. Jarraitu zure trebetasunak hainbat problemarekin praktikatzen, gertaera konposatuen probabilitatea zehazten trebeagoa izateko.
