Produktuaren Momentuen Korrelazioari buruzko Galdera Adibideak eta Eztabaida
Produktu-Momentu Korrelazioa, Pearson Korrelazioa bezala ere ezaguna, bi aldagairen arteko erlazio lineal baten indarra eta norabidea neurtzeko erabiltzen den metodo estatistikoa da. Metodo hau hainbat arlotan erabilgarria da, ikerketa akademikotik eta negozio-analisitik hasi eta zientzia naturalen esperimentuen ebaluazioraino. Artikulu honek Produktu-Momentu Korrelazioa kalkulatzeko hainbat arazo adibide eta haien irtenbideak aztertuko ditu.
Pendahuluan
Adibide-galderak aztertu aurretik, komeni da Produktu-Momentu Korrelazioaren oinarrizko kontzeptua ulertzea. Pearson korrelazio-koefizientea (\(r\)) kalkulatzeko erabiltzen den formula orokorra hau da:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Non:
– \(n\) datu-bikoteen kopurua da.
– \( \sum{XY} \) \( X \) eta \( Y \) biderketen batura da.
– \( \sum{X} \) \( X \) aldagaien batura da.
– \( \sum{Y} \) \( Y \) aldagaien batura da.
– \( \sum{X^2} \) \( X \) aldagaiaren karratuen batura da.
– \( \sum{Y^2} \) \( Y \) aldagaiaren karratuen batura da.
Pearsonen korrelazio-koefizientea (\(r\)) beti dago -1 eta 1 artean. Korrelazio positibo batek bi aldagaiak norabide berean mugitzen direla adierazten du, eta korrelazio negatibo batek, berriz, aldagai bat handitzen den heinean bestea gutxitzen dela. \(r = 0\) bada, orduan ez dago korrelazio linealik bi aldagaien artean.
1. galderaren adibidea
Data
Hona hemen 5 ikasleren matematika eta fisikako azterketen puntuazio datuak:
| Ikaslea | Matematika (X) | Fisika (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Ebazpenaren urratsak
1. Osagai Garrantzitsuak Kalkulatzea:
– (X batura) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– ( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– (\( \sum{XY} \) = (85 \ 90) + (78 \ 85) + (85 \ 80) + (70 \ 70) + (80 \ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– (\( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– ( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Sartu formulan:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Emaitzak kalkulatzea:
– Zenbakitzailea: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Izendatzailea:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276)
– (\sqrt{766 \times 1276} \gutxi gorabehera \sqrt{976856} \gutxi gorabehera 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \gutxi gorabehera 0.633 \]
Beraz, matematika eta fisikako proben arteko Pearson korrelazio koefizientea 0.633 da, eta horrek adierazten du bi aldagaien artean korrelazio positibo moderatua dagoela.
2. galderaren adibidea
Data
Jarraian, enpresa batean 6 hilabetez salmenta-balioari eta publizitate-gastuari buruzko datuak ageri dira:
| Hilabetea | Publizitatea (X) | Salmentak (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Ebazpenaren urratsak
1. Osagai Garrantzitsuak Kalkulatzea:
– ( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– ( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– (\( \sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– (\( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– ( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Sartu formulan:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Emaitzak kalkulatzea:
– Zenbakitzailea: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Izendatzailea:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000)
– (\sqrt{2040000 \times 4580000} \gutxi gorabehera \sqrt{9343200000000} \gutxi gorabehera 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \gutxi gorabehera 0.981 \]
Beraz, publizitate-gastuaren eta salmenta-balioaren arteko Pearson korrelazio-koefizientea 0.981 da, eta horrek adierazten du bi aldagaien artean korrelazio positibo oso sendoa dagoela.
Ondorioa
Pearsonen korrelazio-koefizientea (\(r\)) oso tresna erabilgarria da bi aldagairen arteko erlazio lineala ulertzeko. Emandako adibideetan, \(r\) balioa nola kalkulatu eta interpretatu ikusten dugu. Korrelazio handiago batek (1 edo -1etik hurbilago) erlazio sendoagoa adierazten du, eta korrelazio txikiago batek (0tik hurbilago) erlazio ahulagoa. Garrantzitsua da kontuan izatea korrelazioak ez duela kausalitatea inplikatzen; bi aldagaien artean erlazio bat dagoela adierazten du, besterik gabe.
