Adibide galderak eta banaketa binomialaren eztabaida
Banaketa binomiala probabilitate-banaketa diskretu erabilienetako bat da. Hainbat saiakera berdin eta independentetan lortutako arrakasta kopurua modelatzeko erabilgarria da, eta bakoitzak arrakasta edo porrot bat sortzen du. Artikulu honetan, banaketa binomialean sakonduko dugu hainbat adibide eta eztabaida zehatz bat emanez.
Banaketa binomialaren sarrera
Banaketa binomialak ezaugarri nagusi hauek ditu:
1. n : Saiakera edo errepikapen kopurua.
2. p : Saiakera bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea.
3. q = 1-p : Saiakera bakoitzean huts egiteko probabilitatea.
Banaketa binomialaren probabilitate-masaren funtzioa hau da:
P(X = k) = {n \haud k} p^k (1-p)^{nk}
Non:
– \( {n \aukeratu k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): Arrakasta kopurua adierazten duen ausazko aldagaia.
– \(k\): Bilatutako arrakasta kopurua.
Galdera eta eztabaida adibideak
Banaketa binomialaren kontzeptua xehetasun gehiagorekin ulertzeko, has gaitezen adibide batzuekin.
1. adibidea: Ikasle talde batetik hautatzea
Adibidez, demagun 10 ikasleko talde bat dugula, eta ikasle bakoitza lehiaketa batean parte hartzeko hautatua izateko probabilitatea 0,3 dela. Zehazki 4 ikasle hautatuak izateko probabilitatea jakin nahi dugu.
1. urratsa: Banaketa binomialaren parametroak identifikatu.
– (n = 10)
– (p = 0.3)
2. urratsa: Erabili banaketa binomiala \( X = 4 \) probabilitatea kalkulatzeko.
P(X = 4) = {10 \aukeratu 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Kalkulatzen \( {10 \choose 4} \):
\[ {10 \aukeratu 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]
Orain kalkulatu \( (0.3)^4 \) eta \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Beraz,
P(X = 4) = 210 ≤ 0.0081 ≤ 0.117649 ≤ 0.20012
Beraz, zehazki 4 ikasle hautatzeko probabilitatea gutxi gorabehera % 0.20012 edo % 20.012 da.
2. adibidea: 2 baino txikiagoa edo berdina den probabilitatea
Orain, adibidez, 2 ikasle edo gutxiago hautatuak izateko probabilitateaz galdetzen digute.
1. urratsa: \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \) eta \( P(X = 2) \) kalkulatu behar ditugu.
– \( P(X = 0) \)rako:
P(X = 0) = {10 \hauts 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \aukeratu 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
P(X = 0) = 1 ∫1 ∫0.0282475 = 0.0282475
– \( P(X = 1) \)rako:
P(X = 1) = {10 \aukeratu 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \aukeratu 1} = 10 \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
P(X = 1) = 10 ∫0.3 ∫0.1210608 = 0.3631824
– \( P(X = 2) \)rako:
P(X = 2) = {10 \aukeratu 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \aukeratu 2} = 45 \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
P(X = 2) = 45 ∫0.09 ∫0.2334744 = 0.2334744
2. urratsa: Probabilitateak batu.
P(X ∫²) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671
Beraz, 2 ikasle edo gutxiago hautatzeko probabilitatea gutxi gorabehera 0.7740671 edo % 77.41 da.
3. adibidea: Gutxienez 8ren probabilitatea
Esperimentu bat 12 aldiz egiten bada, eta saiakera bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea 0.5 bada, zein da gutxienez 8 arrakasta gertatzeko probabilitatea?
1. urratsa: Ezarri parametro binomialak: \(n = 12, p = 0.5 \).
2. urratsa: Aurkitu \(X \geq 8\)-ren probabilitatea.
Horrek hainbat probabilitate indibidual kalkulatu eta batu behar ditu:
\[ P(X \geq 8) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) \]
Banaka zenbatu:
– \( P(X = 8) \)rako:
P(X = 8) = {12 \aukeratu 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \aukeratu 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496
– \( P(X = 9) \)rako:
P(X = 9) = {12 \aukeratu 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \aukeratu 9} = 220 \]
P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094
– \( P(X = 10) \)rako:
P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \aukeratu 10} = 66 \]
P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328
– \( P(X = 11) \)rako:
P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \aukeratu 11} = 12 \]
P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688
– \( P(X = 12) \)rako:
P(X = 12) = {12 \aukeratu 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \aukeratu 12} = 1 \]
P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406
3. urratsa: Probabilitate guztiak gehitu.
P(X ∫) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ~ 0.1938477
Beraz, 12 saiakuntzetan gutxienez 8 arrakasta gertatzeko probabilitatea gutxi gorabehera 0.1938477 edo % 19.38 da.
Ondorioa
Banaketa binomiala oinarrizko kontzeptua da estatistikan, funtsezkoa aplikazio praktiko askotan. Goiko adibideetan erakusten den bezala, banaketa binomialaren hainbat kasutarako probabilitateak nola kalkulatu ulertuz, kontzeptu hau benetako munduko egoeretan aplika dezakegu. Ariketa honek probabilitate-egiturek testuinguru argi eta antolatu batean nola funtzionatzen duten ulertzea ere indartzen du.
