Serie aritmetikoak eztabaidatzen dituzten galdera-adibideak
Segida aritmetikoak matematikako oinarrizko kontzeptuak dira, eta maiz agertzen dira hainbat arazotan, bai bigarren hezkuntzan bai goi mailako hezkuntzan. Kontzeptu honek zenbaki-segida bat dakar, non termino bakoitza aurreko terminoari zenbaki konstante bat gehituz edo kentzearen emaitza den. Artikulu honetan, hainbat adibide-problema eta haien irtenbideak aztertuko ditugu, segida aritmetikoen kontzeptua hobeto ulertzeko.
Serie aritmetikoak ulertzea
Serie aritmetikoa bi gai jarraikiren arteko aldea (diferentzia) konstantea duen seriea da. Adibidez, serie aritmetiko batek lehen gaia \(a\) eta aldea \(d\) baditu, orduan gaiak honela idatz daitezke:
\[ a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...]
Serie honen n-garren terminoa aurkitu nahi badugu, n-garren terminoaren formula (\(U_n\)) hau da:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Bitartean, serie aritmetiko baten (\(S_n\)) lehenengo n gaien batura formula hau erabiliz kalkula daiteke:
\[ S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Galdera eta eztabaida adibideak
1. galderaren adibidea
Galdera: Lehenengo gaia \(a = 5\) eta zatidura komuna \(d = 3\) dituen serie aritmetiko bat emanda. Aurkitu seriearen 10. gaia.
Eztabaida:
10. terminoa (\(U_{10}\)) aurkitzeko, n. terminoaren formula erabil dezakegu:
\[ U_{10} = a + (10-1)d \]
\[ U_{10} = 5 + (9 \cdot 3) \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Beraz, seriearen 10. gaia 32 da.
2. galderaren adibidea
Galdera: Aurkitu lehenengo gaia \(a = 4\) eta zatidura komuna \(d = 7\) duten serie aritmetikoko lehenengo 15 gaien batura.
Eztabaida:
Lehenengo 15 gaien batura (\(S_{15}\)) aurkitzeko, lehenengo n gaien baturaren formula erabil dezakegu:
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2a + (15-1)d) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 4 + 14 \cdot 7) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} (8 + 98) \]
\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 106 \]
\[ S_{15} = 15 \cdot 53 \]
\[ S_{15} = 795 \]
Beraz, seriearen lehen 15 gaien batura 795 da.
3. galderaren adibidea
Galdera: Jakina da serie aritmetiko baten 5. gaia 20 dela eta 12. gaia 48. Aurkitu seriearen lehen gaia (\(a\)) eta zatidura komuna (\(d\)).
Eztabaida:
Emandako baldintzetatik:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
Bi aldagai dituzten bi ekuazio lineal ditugu, eta hauek ebatzi ditzakegu:
1. (a + 4d = 20)
2. (a + 11d = 48)
1. ekuaziotik, \(a\) \(d\)-ren arabera adieraz dezakegu:
\[ a = 20 – 4d \]
Orain \(a\) ordezkatzen dugu 2. ekuazioan:
\[ 20 – 4d + 11d = 48 \]
\[ 20 + 7d = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ d = 4 \]
Orain, \(d\)-ren balioa \(a = 20 – 4d\) ekuazioan ordezkatzen dugu:
\[ a = 20 – 4 \cdot 4 \]
\[ a = 20 – 16 \]
\[ a = 4 \]
Beraz, seriearen lehen gaia 4 da eta zatidura komuna 4.
4. galderaren adibidea
Galdera: Zenbat termino behar dira lehenengo terminoa \(a = 2\) eta zatidura komuna \(d = 5\) dituen serie aritmetiko batek 200 batu ahal izateko?
Eztabaida:
Kasu honetan, lehenengo n gaien batura (\(S_n\)) 200 dena aurkitu behar dugu. Erabili lehenengo n gaien baturarako formula hau:
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) = 200
Ordezkatu \(a\) eta \(d\) balioak:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n – 1) = 200 \]
\[n (5n – 1) = 400\]
Ekuazio koadratiko bat da hau. Ebazteko, bere forma aldatzen dugu:
\[ 5n^2 – n – 400 = 0 \]
Erabili formula koadratikoa \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
Kasu honetan, \(a = 5\), \(b = -1\) eta \(c = -400\):
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8000}}{10} \]
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\)-ren balioa 89.42tik hurbil dago, orduan:
\[ n = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
Balio positiboak hartzen ditugu:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ n \gutxi gorabehera \frac{90.42}{10} \]
\[ n \gutxi gorabehera 9.042 \]
Beraz, behar diren termino kopurua 9 termino da (biribilduta bada).
Ondorioa
Matematikan gai erabakigarriak dira segida aritmetikoak. Lehenengo terminoa, diferentzia komuna, n. terminoa eta lehenengo n terminoen batura sakonki ulertzea oso baliotsua da hainbat arazo konpontzeko. Goiko adibideak eta eztabaidak erabiliz, irakurleek segida aritmetikoen oinarrizko kontzeptuak hobeto ulertzea espero da.
