Vektori tähistuse terminoloogia ja tüübid
Matemaatika, füüsika ja arvutiteaduse arutamisel on vektorite mõiste sageli ülioluline element. Vektorid ei ole lihtsalt abstraktsed mõisted; need on asjakohased mitmesugustes praktilistes olukordades, näiteks andmeanalüüsis, arvutigraafikas ja füüsikasimulatsioonides. Selles artiklis arutame vektorite terminoloogiat ja tähistust ning uurime seejärel nendes distsipliinides leiduvaid erinevaid vektoritüüpe.
Vektoriterminoloogia ja tähistus
1. Vektorid ja skalaarid
Vektor on matemaatiline suurus, millel on nii suurus kui ka suund. Skalaar seevastu on üksik väärtus, millel on ainult suurus ja puudub suund. Näiteks kiirus 5 m/s ilma suuna näitamiseta on skalaar, samas kui kiirus 5 m/s ida suunas on vektor.
2. Vektori tähistus
Vektoreid tähistatakse tavaliselt paksus kirjas väiketähega, näiteks v, või tähe kohal oleva noolega, näiteks \(\vec{v}\). Näiteks kui meil on vektor v, mille elemendid on \(v_1, v_2, v_3\), siis saab selle kirjutada järgmiselt:
\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Teine viis vektorite kirjutamiseks, eriti kahe- või kolmemõõtmelises kontekstis, on kasutada standardbaasi. Näiteks:
\[ \v} = v_1 \hat{i} + v_2 \hat{j} + v_3 \hat{k} \]
kus \(\hat{i}, \hat{j}\) ja \(\hat{k}\) on x-, y- ja z-telgedel paiknevad ühikvektorid.
Vektorite tüübid
1. Positsioonivektor
Positsioonivektor on vektor, mis kirjeldab punkti asukohta ruumis võrdluspunkti, tavaliselt punkti O (koordinaat) suhtes. Kui punktil P on koordinaadid (x, y, z) 3D-ruumis, siis saab positsioonivektori \(\vec{r}\) väljendada järgmiselt:
\[ \vect{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. Nihkevektor
Nihkevektor kirjeldab punkti asukoha muutust ühest asukohast teise. Oletame, et punktil A on koordinaadid (x1, y1, z1) ja punktil B on koordinaadid (x2, y2, z2). Nihkevektor \(\vec{d}\) punktist A punkti B saab kirjutada järgmiselt:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. Kiirusvektor
Kiirus on vektor, mis näitab objekti asukoha muutumise kiirust ajaühiku kohta. Kui \(\vec{r}(t)\) on asukoha funktsioon aja suhtes, siis kiirusvektor \(\vec{r}(t)\) on \(\vec{r}(t)\) tuletis aja t suhtes:
\[ \v(t) = \frac{d\r(t)}{dt} \]
4. Kiirendusvektor
Kiirendusvektor on kiirusvektori tuletis aja suhtes. See näitab objekti kiiruse muutumise kiirust ajaühiku kohta. Kui \(\vec{v}(t)\) on kiiruse funktsioon aja suhtes, siis kiirendusvektor \(\vec{a}(t)\) on \(\vec{v}(t)\) tuletis:
[ a (t) = d v (t) ]
5. Jõuvektor
Newtoni teise seaduse kohaselt on jõud massi ja kiirenduse korrutis. Jõud on samuti vektor, kuna sellel on nii suurus kui ka suund. Kui m on mass ja \(\vec{a}\) on kiirendusvektor, siis saab jõuvektorit \(\vec{F}\) väljendada järgmiselt:
\[ \f{F} = m\f{a} \]
6. Ühikvektor
Ühikvektor on vektor, mille suurus (pikkus) on üks. Vektori \(\vec{v}\) ühikvektori saab saada \(\vec{v}\) jagamisel selle suurusega. Kui \(\vec{v}\) suurus on \(||\vec{v}||\), siis saab selle ühikvektori kirjutada järgmiselt:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. Nullvektor
Nullvektor on vektor, mille kõik komponendid on nullid ja mida tavaliselt tähistatakse kui \(\vec{0}\). Sellel vektoril puudub suund ja selle suurus on null. Näide kolmemõõtmelises ruumis on:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. Ortogonaalsed vektorid
Kahte vektorit nimetatakse ortogonaalseteks, kui nende piirkorrutis on null. Kui \(\vec{u}\) ja \(\vec{v}\) on kaks vektorit, siis on nad ortogonaalsed, kui:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. Kollineaarsed vektorid ja koplanaarsed vektorid
Kahte vektorit nimetatakse kollineaarseteks, kui nad asuvad samal sirgel või on paralleelsed. Neid saab esitada teineteise skalaarsete kordsetena. Näiteks:
\[ \v} = k \u}
mingi skalaari \(k\) korral.
Samal ajal öeldakse, et kolm vektorit on koplanaarsed, kui nad asuvad samas tasapinnas. Neid saab esitada kahe teise vektori lineaarse kombinatsioonina.
Tehted vektoritega
1. Vektorite liitmine ja lahutamine
Vektorite liitmine toimub nende vastavate komponentide liitmise teel. Kui \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) ja \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), siis:
[u + v = pmatrix algus u_1 + v_1 u_2 + v_2 u_3 + v_3 lõpp pmatrix]
Lahutamine toimub vastavate komponentide lahutamise teel:
\[ \u003e{u} – \u003e{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\u_2 – v_2 \\u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. Skalaarne korrutamine
Skalaarne korrutamine on tehe, mis hõlmab skalaariga (numbrilise väärtusega) vektorit. Kui k on skalaar ja \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), siis:
\[k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \end{pmatrix} \]
3. Sisekorrutis (skalaarkorrutis)
Kahe vektori \(\vec{u}\) ja \(\vec{v}\) skalaarkorrutis on skalaar. Seda saab arvutada järgmiselt:
\[ \v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. Ristkorrutis
Kahe vektori \(\vec{u}\) ja \(\vec{v}\) vektorkorrutis annab uue vektori, mis on mõlema vektoriga ortogonaalne. Kolmemõõtmelises ruumis arvutatakse see järgmiselt:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
i ja j ning k
u_1 ja u_2 ja u_3 \\
v_1 ja v_2 ja v_3
\end{vmatrix} \]
Järeldus
Vektorite terminoloogia ja tähistuse ning nende tüüpide mõistmine on ülioluline erinevates teadusdistsipliinides. Vektorid ei ole lihtsalt abstraktsed matemaatilised üksused, vaid ka võimsad tööriistad füüsikas, inseneriteaduses ja infotehnoloogia analüüsis. Nende põhimõistete hea mõistmise abil saame hõlpsamini lahendada keerulisi probleeme paljudes valdkondades.
