Kuidas arvutada kvartiile, detsiile ja protsentiile statistilistes andmetes
Statistikas peame sageli määrama väärtuse positsiooni andmekogumis. Keskmise või mediaani arvutamisest üksi ei piisa, kuna need mõõdikud ei kirjelda andmete jaotust ega seda, kuidas üks vaatlus teistega võrdub. Siin tulevad mängu kvartiilid, detsiilid ja protsentiilid. Need kolm on positsioonilised mõõdikud, mis jagavad sorteeritud andmed võrdseteks osadeks. See artikkel käsitleb definitsioone, üldiseid samme ja seda, kuidas arvutada kvartiile, detsiile ja protsentiile nii üksikute kui ka rühmitatud andmekogumite puhul.
-
1. Põhikontseptsioon: andmed tuleb sorteerida
Enne kvartiilide, detsiilide või protsentiilide arvutamist on kõige olulisem samm andmete sortimine väikseimast suurimani. Kui andmed on sorteeritud, saame määrata kvartiilide, detsiilide või protsentiilide asukoha nende indeksipositsioonide põhjal.
Üldiselt:
– Kvartiilid jagavad andmed neljaks osaks.
– Detsiilid jagavad andmed 10 osaks.
– Pertsentiilid jagavad andmed 100 osaks.
Praktikas kasutatakse kvartiile, detsiile ja protsentiile tavaliselt testide tulemuste, sissetulekuandmete, antropomeetriliste mõõtmiste (pikkus/kaal) ja soorituse hindamise analüüsimiseks.
-
2. Kuidas arvutada kvartiile (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartiilid üksikandmetes (rühmitamata)
Kvartiilid koosnevad:
– Q1: alumine kvartiil (25% andmetest on sellest allpool)
– Q2: mediaan (50%)
– Q3: ülemine kvartiil (75%)
Üksikute andmekvartiilide arvutamise sammud:
1. Sorteeri andmed.
2. Arvutage kvartiilipositsioon positsioonivalemi abil:
– Positsioon Q1 = \((n+1)/4\)
– Positsioon Q2 = \(2(n+1)/4\) või \((n+1)/2\)
– Positsioon Q3 = \(3(n+1)/4\)
Kui positsioon on täisarv, võtke selle positsiooni väärtus. Kui positsioon on murdarv, interpoleerige (võtke kahe lähima andmepunkti vaheline väärtus).
Kiire näide:
Sorteeritud andmed: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Positsioon Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → asub 2. ja 3. andmepunkti vahel.
Seega Q1 on 6 ja 7 vahel. Interpoleerimine:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartiilid rühmitatud andmetes (sagedusjaotus)
Rühmitatud andmete (nt klasside intervallide) puhul arvutatakse kvartiilid järgmise valemi abil:
\[
Q_k = L + (\frac{\frac{k}{4}n – F\)}{f}) × c
\]
Teave:
– \(Q_k\): k-s kvartiil (k = 1,2,3)
– \(L\): kvartiilklassi alumine serv
– \(n\): andmete arv (kogusagedus)
– \(F\): kumulatiivne sagedus enne kvartiilklassi
– \(f\): sagedus kvartiilklassis
– \(c\): klassi pikkus
Üldised sammud:
1. Loo kumulatiivne sagedus.
2. Määrake kvartiili asukoht: \(k/4 \x n\).
3. Leia klass, mis seda positsiooni sisaldab.
4. Sisesta valemisse.
-
3. Kuidas arvutada detsiile (D1 kuni D9)
Detsiilid jagavad andmed 10 osaks nii, et:
– \(D_1\) näitab andmete alumist 10% piiri,
– \(D_5\) on võrdne mediaaniga,
– \(D_9\) näitab 90% andmemahu piirangut.
A. Üksikandmete detsiilid
Detsiili positsiooni valem:
\[
\text{Positsioon } D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
kus (k = 1,2,punkt,9).
Kui positsioon on saadud, on väärtuse võtmise meetod sama mis kvartiili puhul: kui see on täisarv, võetakse see otse, kui see on murdarv, interpoleeritakse.
-
B. Detsiilid rühmitatud andmetes
Rühmitatud andmete detsiilivalem:
\[
D_k = L + ∫(\frac{\frac{k}{10}n – F\)}{f}) × c
\]
Kirjeldus on sama mis kvartiilil, ainult jagaja on 10.
Samm:
1. Arvuta \(k/10 \korda n\).
2. Määrake kumulatiivse sageduse põhjal detsiiliklass.
3. Asenda valemisse.
Detsiile kasutatakse sageli majandusanalüüsis, näiteks inimeste sissetuleku jagamiseks kümneks rühmaks (detsiil 1 on vaeseim ja detsiil 10 on rikkaim).
-
4. Kuidas arvutada protsentiile (P1 kuni P99)
Pertsentiilid on detailsemad, kuna need jagavad andmed 100 osaks. Väärtus P25 = Q1, P50 = mediaan ja P75 = Q3. See tähendab, et kvartiilid on tegelikult protsentiilide erijuhtum.
A. Üksikandmete protsentiilid
Protsentiili positsiooni valem:
\[
\text{Positsioon } P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
kus (k = 1,2,punkt,99).
Protseduur on sama: sorteeri andmed, arvuta asukoht ja seejärel võta väärtus või interpoleeri.
-
B. Pertsentiilid rühmitatud andmetes
Rühmitatud andmete protsentiili valem:
\[
P_k = L + ∫(\frac{\frac{k}{100}n – F\)}{f}) × c
\]
Sammud on identsed detsiilide/kvartiilidega:
1. Määrake asukoht \(k/100 \korda n\).
2. Leidke kumulatiivse sageduse protsentiiliklass.
3. Kasutage valemit.
Pertsentiile kasutatakse sageli akadeemilistes ja tervisekontrollides. Näiteks lapse pikkus 80. protsentiilis tähendab, et laps on pikem kui 80% temaealistest lastest.
-
5. Olulised näpunäited ja levinud vead
1. Andmed tuleb sorteerida (eriti üksikandmete puhul). Ilma sortimiseta on kvartiilid/detsiilid/protsentiilid mõttetud.
2. Kui kasutate pidevaid mõisteid, veenduge, et kasutaksite rühmitatud andmetel klassi servi (mitte klassipiire).
3. Kumulatiivne sagedus peab olema õige, sest kvartiili/detsiili/protsentiili klass määratakse akumuleeritud sageduse põhjal.
4. Pöörake tähelepanu klassi pikkusele (c). Klassi pikkus ei tohi olla vale, sest see mõjutab arvutustulemusi.
5. Interpoleerimine on oluline, kui positsioone ei ümardata. Paljud õpilased ümardavad positsioone kohe, kuigi see võib täpsust vähendada.
-
6. Kokkuvõte
Kvartiilid, detsiilid ja protsentiilid on olulised statistilised vahendid andmete jaotuse mõistmiseks. Kvartiilid sobivad lihtsate kokkuvõtete tegemiseks (nt kastidiagrammil), detsiilid on kasulikud detailsemate rühmituste, näiteks sissetulekute analüüsi jaoks, samas kui protsentiilid aitavad hinnata väga konkreetse isiku positsiooni populatsioonis. Põhiliste sammude – andmete järjestamine, positsiooni määramine ja sobivate valemite kasutamine üksikute või rühmitatud andmete jaoks – mõistmise abil saate arvutada kvartiile, detsiile ja protsentiile suurema täpsuse ja kindlusega.
Soovi korral võin lisada grupeeritud andmetabeli täieliku näite (intervall, sagedus, kumulatiivne sagedus) ja seejärel arvutada Q1, D7 ja P85 detailselt, et harjutamist lihtsustada.
