Bernoulli printsiip ja võrrandi materjal
KKui sõidame mootorrattaga üsna kiiresti, siis meie riided paisuvad tagant üles. Kui sa ei oska veel mootorrattaga sõita, siis pööra tähelepanu oma vanematele või sõpradele, kes mootorrattaga sõidavad. Nende riiete seljaosa paisub tavaliselt tagant üles, kui mootorratas kiiresti sõidab. Mõnikord, kui tuul puhub kõvasti, võib maja uks iseenesest sulguda. Isegi kui tuul puhub väljastpoolt maja, samal ajal kui uks on sees.
Seda saab seletada Bernoulli printsiibi abil. Daniel Bernoulli (1700–1782) avastas printsiibi, mille abil saab seletada mõned ülaltoodutest.
Bernoulli printsiip
Bernoulli printsiip väidab, et kui vedeliku voolukiirus on suur, on vedeliku rõhk madal. Vastupidi, kui vedeliku voolukiirus on väike, muutub rõhk kõrgeks. Kui mootorratas liigub kiiresti, on õhu kiirus teie keha ees ja kõrval suur. Seega muutub õhurõhk madalaks. Teie keha tagumine osa on teie keha esiosa poolt blokeeritud, seega õhu kiirus teie keha taga (otse teie keha taga) ei muutu kõrgeks. Selle tulemusena suureneb õhurõhk teie keha taga. Kuna õhurõhus on erinevus, kus õhurõhk otse teie keha taga on suurem, surub õhk teie särki tahapoole, mistõttu näeb see välja nagu oleks tagant paisunud.
Aga kuidas on lood uksega, mis sulgub iseenesest, kui väljas puhub tugev tuul? Välisõhk liigub kiiremini kui seesmine õhk. Selle tulemusena on välisõhurõhk madalam kui seesmine õhurõhk. Selle rõhuerinevuse tõttu, kus seesmine õhurõhk on kõrgem, lükatakse uks väljapoole. Teisisõnu, uks liigub kõrgema õhurõhuga kohast madalama õhurõhuga kohta.
Bernoulli võrrand
Eelnevalt õppisime Bernoulli printsiibist. Bernoulli arendas selle printsiibi kvantitatiivselt välja. Bernoulli võrrandi tuletamiseks eeldame püsivat laminaarset vedeliku voolu, kokkusurumatust ja madalat viskoossust, mida võib ignoreerida.
Jätkuvuse võrrandi arutelu käigus saime teada, et vedeliku voolukiirus võib varieeruda ka sõltuvalt voolutoru ristlõikepindalast. Eespool selgitatud Bernoulli printsiibi põhjal võib vedeliku rõhk varieeruda ka sõltuvalt vedeliku voolukiirusest. Vedeliku rõhk võib varieeruda ka sõltuvalt vedeliku kõrgusest. Rõhu, voolukiiruse ja voolukõrguse vahelise seose saab Bernoulli võrrandist.
Bernoulli võrrand on väga oluline, kuna seda saab kasutada lennukite lennu, hüdroelektrijaamade, torustikusüsteemide jms analüüsimiseks. Selleks, et tuletatud Bernoulli võrrand oleks üldiselt rakendatav, eeldame, et vedelik voolab läbi ebavõrdse ristlõikepindala ja erineva kõrgusega voolutoru (vt allolevat joonist). Bernoulli võrrandi tuletamiseks rakendame töö ja energia teoreemi voolutoru piirkonnas olevale vedelikule. Seejärel arvutame vedeliku hulga ja vedeliku liigutamiseks tehtud töö.
Pildil oleva voolutoru läbipaistmatu värv näitab vedeliku voolu, valge värv aga vedeliku puudumist.
Vedelik ristlõikepindalal 1 (vasakul pool) voolab vahemaa L1 ja sunnib vedelikku ristlõikes 2 (paremal pool) liikuma vahemaa L võrra2Kuna paremal asuv ristlõikepindala 2 on väiksem, on vedeliku voolukiirus voolutoru paremal küljel suurem (pidage meeles pidevusvõrrandit). See põhjustab rõhuerinevuse ristlõike 2 (voolutoru parem külg) ja ristlõike 1 (voolutoru vasak külg) vahel – pidage meeles Bernoulli printsiipi. Ristlõikest 1 vasakul asuv vedelik avaldab rõhku P.1 paremal asuval vedelikul ja teeb järgmist tööd:
Siis võrrand W1 saab kirjutada järgmiselt:
W1 = lk1 A1 L1
Ristlõikes 2 (voolutoru paremal küljel) on vedelikuga tehtav töö:
W2 = − p2 A2 L2
Negatiivne märk näitab, et rakendatud jõud on liikumissuunale vastupidine. Seega teeb vedelik tööd lõigust 2 paremal pool. Lisaks teeb vedelikule tööd ka gravitatsioonijõud. Ülaltoodud juhul nihutatakse teatud vedeliku mass lõigust 1 kauguse L võrra.1 läbida lõik 2 kuni punktini L2, kus vedeliku maht ristlõikes 1 (A1 L1) = vedeliku ruumala ristlõikes 2 (A2 L2). Raskusjõu tehtud töö on:
W3 = − mg (h2 - h1)
W3 = − mg/h2 + mgh1)
W3 = mg/h1 - mgh2
Negatiivne märk tuleneb vedeliku ülespoole voolamisest, mis on vastupidine raskusjõu suunale. Seega on vedeliku kallal tehtav kogutöö, nagu on näidatud ülaltoodud joonisel:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Töö-energia teoreem väidab, et süsteemis tehtud kogutöö on võrdne selle kineetilise energia muutusega. Seega saame töö (W) asendada kineetilise energia muutusega (EK).2 ‐EK1).
Saame ülaltoodud võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Vahemaa L läbiva vedeliku mass1 ristlõikel A1 = vahemaa L läbiva vedeliku mass2 (ristlõige A2Teatud vedeliku massi, näiteks m, ruumala on A.1L1 ja A2 L2 kus A1 L1 = A2 L2 (L2 pikem kui L1).
Nüüd asendame või asendame ülaltoodud võrrandis m väärtusega m = ρ AL:
See on Bernoulli võrrand. Me tuletasime Bernoulli võrrandi töö-energia printsiibi põhjal, seega on see energia jäävuse seaduse vorm.
Teave:
P = Rõhk
ρ = vedeliku tihedus
v = vedeliku voolukiirus
g = Raskuskiirendus
h = voolutoru kõrgus maapinnast
Bernoulli võrrandi vasak ja parem pool võivad viidata mis tahes kahele punktile voolutorus, seega saame võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
See võrrand väidab, et võrrandis olevate suuruste kogusumma on kogu voolutorus sama väärtusega.
Nüüd vaatame Bernoulli võrrandit mõne juhtumi jaoks üle.
Bernoulli võrrand puhkavate vedelike jaoks
Bernoulli võrrandi erijuhtum on paigalseisus olevad vedelikud (staatilised vedelikud). Kui vedelik on paigal, siis tal kiirust ei ole. Seega v1 = v2 = 0. Seisva vedeliku puhul saame Bernouli võrrandi sõnastada järgmiselt:
Kui h2 - h1 = h, siis saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt:
p1 - lk2 = ρg(h2 - h1)
p1 - lk2 = ρgh
Bernoulli võrrand sama kõrgusega voolutorude või torude jaoks
Kui voolutoru või toru kõrgus on sama, siis Bernoulli võrrand muutub järgmiselt:
