Torricelli teoreem – probleemid ja lahendused

Torricelli teoreem – probleemid ja lahendused

1. 100 cm kõrgune veega täidetud toru. Auk Q asub maapinnast 10 cm kõrgusel. Milline on horisontaalne kaugus (x)?

Tuntud:

Augu ja veepinna vaheline kaugus (h) = 100 cm – 10 cm = 90 cm = 0.9 m

Gravitatsioonist tingitud kiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitud: x kaugus

lahendus:

Vee voolukiirus augus

v= kiirus, g = gravitatsioonist tulenev kiirendus, h = augu ja veepinna vaheline kaugus

Vee voolukiirus augus:

Aeg õhus

Vee liikumine august maapinnale on mürsu liikumineHeitkeha liikumist saab mõista liikumise horisontaalse ja vertikaalse komponendi eraldi analüüsimisel. X-liikumine toimub konstantse kiirusega ja y-liikumine konstantse raskuskiirenduse korral.

Selle probleemi puhul vertikaalne liikumine analüüsitakse vabalangemise liikumisena.

Arvutage õhus viibimise aeg, kasutades valemit vabalangemise liikumine.

Tuntud:

Augu kõrgus (y) = 10 cm = 0.1 m

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitakse: Ajavahemik (t)

lahendus:

y = 1/2 gt²

0.1 = 1/2 (10) t²

0.1 = 5 tonni²

t² = 0.1/5

t² = 0.02

t = √0.02 sekundit

Horisontaalne kaugus (x):

Tuntud:

Algkiirus (v_o = v_ox) = 3√2 m/s

Aeg õhus (t) = √0.02 sekundit

Otsitakse: Horisontaalne kaugus (x)

lahendus:

v = x / t

x = vt = (3√2)(√0.02) = (3)(1.41)(0.14) = 0.59 = 0.6 meetrit

2. Veepaak, mille kõrgus on 1 meeter. Punktis P on auk. Milline on vee voolukiirus augus? Raskuskiirendus on 10 m/s.².

Tuntud:

Augu ja veepinna vaheline kaugus (h) = 100 cm – 80 cm = 20 cm = 0.2 m

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitud: Vee voolukiirus augus (v)

lahendus:

Vee voolukiirus augus:

3. Suure-vann sisaldab vett ja seal on kraan, nagu on näidatud alloleval pildil. Kui g = 10 ms^-2, siis kraanist väljuva vee kiirus on…

Tuntud:

Kõrgus (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 meetrit

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitud: Vee kiirus (v)

lahendus:

TOrricelli teoreem väidab, et vee kiirus läbi augu, mille kaugus veepinnast on h, võrdne ... kiirus vabalangusse vesi h kõrguselt.

Vee kiirust arvutatakse vabalangemise liikumise valemi abila v_t² = 2 g/km

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v_t = √9 = 3 m/s

4. A vann veega täidetud ja seinal on auk (vt joonis allpool). August väljuva vee kiirus on… (g = 10 ms^-2)

Tuntud:

Kõrgus (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 meetrit

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitakse: Svee kiirus (V)

lahendus:

v_t² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v_t = √25 = 5 m/s

5. Paak, mis sisaldab kuni 1 meetri kõrgust vett (g = 10 ms^-2) ja seinal on lekkeava (vt. joonis allpool). August väljuva vee kiirus on...

Tuntud:

Kõrgus (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 meetrit

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitakse: Svee kiirus (V)

lahendus:

v_t² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v_t = √16 = 4 m/s

1. Mida kirjeldab Torricelli teoreem?
   • Vastus: Torricelli teoreem seob avausest välja voolava vedeliku kiiruse vedelikusamba kõrgusega ava kohal, eeldades püsivat, viskoossuseta (viskoossuseta) ja kokkusurumatut voolu.
2. Kuidas Torricelli teoreemi matemaatiliselt väljendatakse?
   • Vastus: Teoreemi väljendatakse järgmiselt v=√2gh​, Kus $v$ on väljavoolu kiirus, $g$ on gravitatsioonikiirendus ja $h$ on vedelikusamba kõrgus ava kohal.
3. Millistel eeldustel tuletati Torricelli teoreem?
   • Vastus: Teoreem eeldab, et vedelik on kokkusurumatu ja mitteviskoosne, vool on püsiv ning vedelikule ei lisandu ega võeta täiendavat energiat.
4. Kui anumas on kaks erineval sügavusel asuvat auku, siis kuidas võrduvad aukudest väljuvate vedelike kiirused?
   • Vastus: Alusele lähemal asuvast august väljuv vedelik liigub suurema kiirusega kui kõrgemal asuvast august väljuv vedelik. Selle põhjuseks on asjaolu, et sügavamal on rõhk (ja seega ka potentsiaalne energia) suurem.
5. Miks ei sõltu väljavoolu kiirus anuma kujust ega ristlõikepindalast?
   • Vastus: Torricelli teoreem arvestab ainult potentsiaalset energiat, mis tuleneb vedelikusamba kõrgusest ava kohal. Anuma kuju seda kõrgust ei muuda, seega väljavoolu kiirus jääb samaks.
6. Kuidas erineb avast väljavoolava vedeliku tegelik kiirus Torricelli teoreemi põhjal ennustatust reaalsetes olukordades?
   • Vastus: Reaalsetes olukordades võivad sellised tegurid nagu vedeliku viskoossus, turbulentsus ja ava kuju tegelikku kiirust mõjutada, muutes selle sageli väiksemaks, kui Torricelli teoreemi järgi ennustatakse.
7. Milline on seos Torricelli teoreemi ja energia jäävuse vahel?
   • Vastus: Torricelli teoreem tuleneb mehaanilise energia jäävusest. See võrdsustab vedeliku pinnal oleva potentsiaalse energia ava kineetilise energiaga.
8. Kui vedelikuga täidetud anuma ülaosas on ava, siis kuidas kirjeldab Torricelli teoreem väljavoolukiirust?
   • Vastus: Kõrgus $h$ ava kohal oleks null, seega Torricelli teoreemi kohaselt oleks väljavoolukiirus null.
9. Kuidas mõjutab atmosfäärirõhu olemasolu Torricelli teoreemi ennustusi?
   • Vastus: Torricelli teoreem eeldab, et anum on atmosfääri suhtes avatud ja seega mõjub atmosfäärirõhk ühtlaselt kogu vedeliku pinnale. See rõhk tühistatakse, kui arvestada rõhuerinevust vedeliku kõrguse ulatuses, seega jääb teoreem kehtima.
10. Mis juhtub väljavoolu kiirusega, kui vedeliku sisaldus anumas väheneb?

• Vastus: Vedeliku taseme langedes kõrgus $h$ ava kohal väheneb. Torricelli teoreemi kohaselt väheneks väljavoolukiirus, kui v=√2gh​.

Need küsimused ja vastused uurivad Torricelli teoreemi aluseid, tagajärgi ja rakendusi vedeliku dünaamikas.