Projektiili liikumine – probleemid ja lahendused

27 Heitkeha liikumine – probleemid ja lahendused

1. Kuul tulistas at nurk θ = 60^o kiirusega 20m/s. Gravitatsioonist tingitud kiirendus is 10 m / s²Milline on ajavahemik maksimaalse kõrguse saavutamiseks?

Tuntud:

Kuuli algkiirus (v_o) = 20 m/s

Nurk (θ) = 60^oC

Raskuskiirendus (g) = 10 ms^-2

Otsitakse: Ajavahemik, mis kulub sihtkohta jõudmiseks maksimaalne kõrgus

lahendus:

Algkiirus horisontaalsuunas (x-teljel):

v_ox = v_o cos 60^o = (20)(0.5) = 10 m/s

Algkiirus vertikaalsihis (y-teljel):

v_oy = vo sin 60^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

Maksimaalse kõrguse saavutamiseks kuluv ajavahemik, mis arvutatakse järgmise võrrandi abil:

v_ty = v_oy + gt

v_ty = lõppkiirus vertikaalsuunas = lõppkiirus kõrgeimas punktis = 0 m/s

v_oy = algkiirus horisontaalsuunas = 10√3 m/s

g = raskuskiirendus = 10 m/s²

t = ajaintervall

Ajavahemik:

v_ty = v_oy + gt

0 = 10√3 – 10⁻¹⁴

10√3 = 10√t

t = 10√3 / 10

t = √3 sekundit

2. Nurga all projitseeritud objekt. Objekti kõrgus on sama, kui ajaintervall on 1 sekund ja 3 sekundit. Milline on objekti ajaintervall õhus?

lahendus:

Objekt õhus 4 sekundit.

3. Lennuk liigub horisontaalselt kiirusega 50 m/s. 2 km kõrgusel kukub lennukist alla objekt. Raskuskiirendus = 10 m/s2, mis on ajavahemik enne objekti maapinnale jõudmist.

Tuntud:

Kõrgus = 2 km = 2000 meetrit

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Otsitakse: Ajavahemik (t)

lahendus:

h = 1/2 gt²

2000 = 1/2 (10) t²

2000 = 5 tonni²

t² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 sekundit

4. Löödud jalgpall lahkub maast nurga θ = 45 all^o mille horisontaaltasapinna algkiirus on 25 m/s. Määrake kaugus X. Raskuskiirendus on 10 m/s.².

Tuntud:

Algkiirus (v_o) = 25 m/s

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Nurk (θ) = 45^o

Otsitakse: X

lahendus:

Algkiiruse horisontaalne komponent:

v_ox = v_o cos θ = (25 m/s)(cos 45^o) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Algkiiruse vertikaalne komponent:

v_oy = v_o sin θ = (25 m/s)(sin 45^o) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Heitkeha liikumist saab mõista liikumise horisontaalse ja vertikaalse komponendi eraldi analüüsimisel. X-liikumine toimub konstantse kiirusega ja y-liikumine konstantse gravitatsioonikiirenduse korral.

Aeg õhus (t) :

Õhus veedetud aeg arvutatakse ülespoole suunatud vertikaalse liikumise võrrandi abil.

Valige positiivseks suunaks ülespoole ja negatiivseks suunaks allapoole.

Tuntud:

Algkiirus (v_o) = 12.5√2 m/s (ülespoole, positiivne)

Raskuskiirendus (g) = -10 m/s² (allapoole suunatud, negatiivne)

Kõrgus (h) = 0

Otsitakse: Ajavahemik (t)

lahendus:

h = v_o t + 1/2 gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t²

0 = 12.5√2 t – 5 t²

12.5√2 t = 5 t²

12.5√2 = 5√t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 sekundit

Horisontaalne kaugus (X) :

Arvutatud valemi abil ühtlane lineaarne liikumine konstantse kiirusega.

Tuntud:

Kiirus (v) = 12.5√2 m/s

Ajavahemik (t) = 2.5√2 sekundit

Otsitakse: kaugus

lahendus:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 meetrit

5. Objekt projitseeritakse ülespoole nurga θ = 30 all^o horisontaaltasapinnaga on algkiirus 20 m/s. Raskuskiirendus on 10 m/s²Määrake maksimaalne kõrgus.

Tuntud:

Algkiirus (v_o) = 20 m/s

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

Nurk (θ) = 30^o

Tagaotsitav : Maksimaalne kõrgus

lahendus:

Esmalt leia algkiiruse vertikaalne komponent (v_oy):

v_oy = v_o ilma 30-ta^o = (20)(sin 30^o) = (20)(0.5) = 10 m/s

Arvuta maksimaalne kõrgus. Vali positiivseks suunaks ülespoole ja negatiivseks suunaks allapoole.

Tuntud:

Raskuskiirendus (g) = -10 m/s² (allapoole suund, negatiivne)

Algkiiruse vertikaalne komponent (v_oy) = 10 m/s (ülespoole suunatud, positiivne)

Kiirus maksimaalsel kõrgusel (v_ty) = 0

Otsitakse: Maksimaalne kõrgus (h)

lahendus:

v_t² = v_o² + 2 gh

0² = 10² + 2 (-10) tundi

0 = 100 – 20 tundi

100 = 20 tundi

h = 100/20

h = 5 meetrit

Maksimaalne kõrgus on 5 meetrit.

6. Objekt visatakse teatud kõrgusnurga all. Objekti kõrgus on 1 sekundi ja 3 sekundi pärast sama. Määrake õhus viibimise aeg.

A. 3.6 sekundit

B. 4.0 s

C. 5.6 sekundit

D. 6.4 sekundit

Lahendus

Õhus viibimise aeg = 4 sekundit.

Õige vastus on B.

7. Lennuk liigub horisontaalselt kiirusega 50 m/s. Kui lennuk on 2 km kõrgusel, võib objekt vabalt lennukist alla kukkuda. Määrake liikumise liik.

A. Vabalangemise liikumine

B. Ujuv liikumine

C. Horisontaalne liikumine

D. Heitkeha liikumine

lahendus:

Objekt kukub liikuvalt lennukilt maha, kuna selle kiirus on sama mis lennukil, st 50 m/s. Objektide liikumine ei ole nagu vabalangemine, vaid paraboolne liikumine. See on sama juhtum, kui kukutaksite objekte liikuva auto seest.

Õige vastus on D.

8. Pall visatakse 60 meetri kõrguselt kaljult horisontaalselt kiirusega 15 m/s. Kui kaua kulub sellel maapinnale jõudmiseks?
Lahendus: Kasutades \(h = \frac{1}{2} gt^2 \), leiame, et aeg on \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \umbes 3.5\ \text{s} \).

9. Mürsk tulistatakse horisontaaltasapinnast 30° nurga all algkiirusega 20 m/s. Milline on maksimaalne kõrgus, milleni mürsk jõuab?
Lahendus: Kasutades valemit \(h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), on maksimaalne kõrgus \(h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. 80 meetri kõrgusest tornist visatakse kivi horisontaalselt kiirusega 10 m/s. Leia horisontaalne kaugus, mille see läbib enne maapinnale jõudmist.
Lahendus: Kasutades ülesandes 1 kirjeldatud viisil leitud aega, on horisontaalne kaugus \(d = vt \umbes 40\ \text{m} \).

11. Kahurikuul tulistatakse kiirusega 40 m/s 45° nurga all. Leia lennuaeg.
Lahendus: Kasutades valemit t = 2v sin theta}{g}, on lennuaeg t umbes 5.8 s.

12. Pesapalli visatakse 60° nurga all kiirusega 12 m/s. Leia horisontaalne ulatus.
Lahendus: Kasutades valemit R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}, on vahemik R umbes 14.0 \text{m}).

13. Mürsk lastakse õhku algkiirusega 50 m/s 37° nurga all horisontaaltasapinnast kõrgemal. Milline on vertikaalne kiirusekomponent?
Lahendus: Vertikaalne komponent on \(v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. Mürsk lastakse horisontaalselt õhku kiirusega 20 m/s 100 meetri kõrguselt. Milline on vertikaalne kiirus vahetult enne maapinnale jõudmist?
Lahendus: Kasutades valemit \(v_y = \sqrt{2gh} \), on vertikaalne kiirus \(v_y \umbes 44.7\ \text{m/s} \).

15. Kivi visatakse horisontaaltasapinnast 25° nurga all algkiirusega 15 m/s. Millised on kiiruse horisontaalsed ja vertikaalsed komponendid?
Lahendus: Horisontaalne komponent on \(v_x = v \cos \theta \umbes 13.4\ \text{m/s} \) ja vertikaalne komponent on \(v_y \umbes 6.4\ \text{m/s} \).

16. Jalgpalli lüüakse algkiirusega 30 m/s 40° nurga all horisontaaltasapinnast. Milline on palli horisontaalne kiiruskomponent?
Lahendus: Horisontaalne komponent on \(v_x = v \cos \theta \um 22.9\ \text{m/s} \).

17. Golfipalli löödi algkiirusega 70 m/s 20° nurga all. Milline on palli lennuaeg?
Lahendus: Lennuaja võrrandit kasutades on aeg \(t \um 4.9\ \text{s} \).

18. Maapinnalt lastakse välja kiirusega 25 m/s 53° nurga all horisontaaltasapinnast. Milline on mürsu algne vertikaalne kiirusekomponent?
Lahendus: Vertikaalne komponent on \(v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. Pesapalli visatakse algkiirusega 20 m/s 50° nurga all. Milline on maksimaalne kõrgus?
Lahendus: Kasutades maksimaalse kõrguse võrrandit, on kõrgus \(h \umb. 15.3\ \text{m} \).

20. Kuul tulistatakse horisontaalselt kiirusega 200 m/s 10 meetri kõrguselt. Kui kaua kulub kuulil maapinnale jõudmiseks?
Lahendus: Ajavõrrandi abil on aeg \(t \umbes 1.4\ \text{s} \).

21. Kahurikuul tulistatakse kiirusega 45 m/s 30° nurga all. Leia laskekaugus.
Lahendus: Vahemiku võrrandi abil on vahemik \(R \umbes 88.2\ \text{m} \).

22. Korvpall visatakse 75° nurga all kiirusega 10 m/s. Leia horisontaalne ulatus.
Lahendus: Vahemiku võrrandi abil on vahemik \(R \umbes 5.3\ \text{m} \).

23. Mürsk lastakse õhku algkiirusega 30 m/s 22° nurga all horisontaaltasapinnast kõrgemal. Milline on vertikaalne kiirus vahetult enne maapinnale jõudmist?
Lahendus: Vertikaalkiiruse võrrandit kasutades on vertikaalne kiirus \(v_y \umb. 11.4\ \text{m/s} \).

24. 40 meetri kõrgusest tornist visatakse horisontaalselt kiirusega 8 m/s kivi. Kui suure vahemaa see horisontaalselt läbib?
Lahendus: Horisontaalse kauguse võrrandi abil on kaugus \(d \approx 16\ \text{m} \).

25. Jalgpalli lüüakse algkiirusega 12 m/s horisontaaltasapinnast 30° nurga all. Millised on kiiruse horisontaalsed ja vertikaalsed komponendid?
Lahendus: Horisontaalne komponent on \(v_x \umb. 10.4\ \text{m/s} \) ja vertikaalne komponent on \(v_y \umb. 6\ \text{m/s} \).

26. Golfipalli löödi algkiirusega 50 m/s 15° nurga all. Milline on palli lennuaeg?
Lahendus: Lennuaja võrrandit kasutades on aeg \(t \um 2.6\ \text{s} \).

27. Maapinnalt lastakse välja kiirusega 40 m/s 60° nurga all horisontaaltasapinnast. Milline on mürsu algne horisontaalne kiiruskomponent?
Lahendus: Horisontaalne komponent on \(v_x = v \cos \theta \um 20\ \text{m/s} \).