Mehaanilise energia jäävuse seadus kõverpindadel – probleemid ja lahendused

Mehaanilise energia jäävuse seadus kõverpindadel – probleemid ja lahendused

1. Kui palli kiirus punktis A on 6 m/s, siis palli kiirus punktis B on √92 m/s ja gravitatsioonist tulenev kiirendus on g = 10 m/s²Milline on punkti B kõrgus (h)?

Tuntud:

Palli kiirus punktis A (v_A) = 6 m/s

Palli kiirus punktis B (v_B) = √92 m/s

Raskuskiirendus (g) = 10 m/s²

A kõrgus (h_A) = 5.6 meetrit

B kõrgus (h_B) = h

Otsitakse: Punkti B kõrgus (h)

lahendus:

Esialgne mehaaniline energia = gravitatsiooniline potentsiaalne energia

Punktis A on palli kiirus 0, seega kineetiline energia palli = 0. KE = 1/2 mv² = 1/2 m (0) = 0.

Pall on 5.6 meetri kõrgusel, seega on pallil gravitatsiooniline potentsiaalne energia. gravitatsiooniline potentsiaalne energia : PE = mgh = m (10) (5.6) = 56 m

Algne mehaaniline energia = gravitatsiooniline potentsiaalne energia + kineetiline energia = 56 meetrit + 0 = 56 meetrit

Lõplik mehaaniline energia = gravitatsiooniline potentsiaalne energia + kineetiline energia

Punktis B on palli kõrgus h. Gravitatsiooniline potentsiaalne energia: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

Palli kineetiline energia: KE = 1/2 mv² = 1/2 m (√92)² = 1/2 meetrit (92) = 46 meetrit

Lõplik mehaaniline energia = gravitatsiooniline potentsiaalne energia + kineetiline energia = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)

Mehaanilise energia jäävuse põhimõte:

Esialgne mehaaniline energia = lõplik mehaaniline energia

56 m = m (10 h + 46)

56 = 10 tundi + 46

56 – 46 = 10 tundi

10 = 10 tundi

h = 10/10

k = 1 meetrit

2.

Kui algkiirus = 0, siis raskuskiirendus = 10 m/s², siis milline on kiirus B kõrgusel?

Tuntud:

Algkiirus (v_o) = 0

Algkõrgus (h_o) = 50 m – 10 m = 40 m

Lõplik kõrgus (h_t) = 0

Raskuskiirendus (g) = 10 ms^-2

Otsitakse: Lõplik kiirus (v_t)

lahendus:

Kineetilise energia muutus:

ΔKE = 1/2 m (v_t² - v_o²) = 1/2 m (v_t² – 0) = 1/2 mV_t²

Potentsiaalse energia muutus:

ΔPE = mg (h_t - h_o) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = –400 m

Arvutage lõppkiirus (v_t) kasutades printsiibi võrrandit mehaanilise energia jäävuse seadus :

0 = ΔKE + ΔPE

0 = 1/2 mV_t² - 400 m

1/2 mV_t² = 400 m

1/2v_t² = 400

v_t² = 2(400)

v_t = √(400)(2)

v_t = 20√2 m/s

1. Mida mõeldakse "mehaanilise energia jäävuse" all?
   • Vastus: Mehaanilise energia jäävuse printsiip tähendab, et isoleeritud süsteemi mehaaniline koguenergia (kineetilise ja potentsiaalse energia summa) jääb konstantseks, kui sellele mõjuvad ainult konservatiivsed jõud, näiteks gravitatsioon.
2. Kuidas kõveral pinnal liikuv objekt (näiteks kõveral kaldteel veerev pall) säästab oma mehaanilist energiat?
   • Vastus: Kui objekt liigub mööda kõverat pinda allapoole, muundub potentsiaalne energia kineetiliseks energiaks, kuid kogu mehaaniline energia jääb konstantseks, eeldades, et mittekonservatiivsed jõud (nagu hõõrdumine) ei tee tööd.
3. Kui pall lastakse paigalseisust kõverdatud kaldtee ülaosas lahti, siis kuidas muutub selle kineetiline energia kaldteel alla liikudes?
   • Vastus: Palli kineetiline energia suureneb kaldteel liikudes, kuna selle potentsiaalne energia väheneb ja muundub kineetiliseks energiaks.
4. Kuidas oleks hõõrdumise puudumisel palli kiirus kõvera liumäe põhjas võrreldes sama kõrgusega sirge liumäega?
   • Vastus: Palli kiirus allosas oleks nii kõvera kui ka sirge libisemise korral sama, sest potentsiaalse energia muundamine kineetiliseks energiaks sõltub ainult vertikaalsest kõrgusest, mitte läbitud teekonnast.
5. Miks ei pruugi pall teatud kõrguselt laskumisel mööda kaarjat kaldteed üles veeredes oma algsele kõrgusele jõuda?
   • Vastus: Kui pallile mõjuvad mittekonservatiivsed jõud, näiteks hõõrdumine, teevad need tööd liikumise vastu, muutes osa palli mehaanilisest energiast teisteks vormideks, näiteks soojuseks. Selle tulemusena ei pruugi pallil olla piisavalt energiat oma algse kõrguse saavutamiseks.
6. Kui kaks erineva kujuga eset (nt kera ja kuup) libisevad samalt kõrguselt mööda kõverat kaldteed alla ilma veeremata, kas neil on siis all sama kiirus? Miks?
   • Vastus: Jah, neil on all sama kiirus. Eeldades, et veeremist ja hõõrdumist ei toimu, on ainus kiirust määrav tegur energia jäävus, mis põhineb algkõrgusel, mitte nende kujul.
7. Kuidas mõjutab pinna kõverus mööda seda liikuvale objektile mõjuvat normaaljõudu?
   • Vastus: Kumerus põhjustab normaaljõu suuna muutumist objekti liikumisel. Nõgusal ülespoole suunatud pinnal (näiteks kausi sisemuses) on normaaljõud allosas suurem kõvera liikumise jaoks vajaliku tsentripetaaljõu tõttu. Seevastu kumeral pinnal võib normaaljõud ülemises punktis väheneda või isegi nulli minna (objekt lahkub pinnalt).
8. Milline roll on kõverusraadiusel mehaanilise energia jäävuses kõveral pinnal?
   • Vastus: Kumerusraadius ise ei mõjuta otseselt mehaanilise energia jäävust. Küll aga võib see mõjutada normaaljõudu ja hõõrdumise korral mittekonservatiivsetele jõududele kaduma läinud energia hulka.
9. Kui rööbaste keskel on lohk (nagu U-kujuline kõver), siis kuidas objekti mehaaniline energia muutub, kui see liigub läbi lohu ja teisele poole ülespoole?
   • Vastus: Objekti potentsiaalne energia väheneb lohku sisenedes ja selle kineetiline energia suureneb. Teisele poole liikudes selle kineetiline energia väheneb ja potentsiaalne energia suureneb. Kui toimivad ainult konservatiivsed jõud, jääb kogu mehaaniline energia kogu liikumise vältel konstantseks.
10. Kas objektil saab kõverpinnal liikudes olla nii translatsiooni- kui ka pöörlemiskineetilist energiat?

• Vastus: Jah, kui objekt, näiteks pall, veereb (libisemata) kõveral pinnal, on sellel massikeskme liikumise tõttu translatsiooniline kineetiline energia ja pöörlemiskineetiline energia pöörlemise tõttu ümber oma telje.