Matemaatilised tõestusmeetodid
Matemaatika tõestus on selle distsipliini keskmes. Tõestusmeetodid on aluseks matemaatilise väite tõesuse tagamisele. Alates põhieeldustest kuni järeldusteni peab iga samm olema garanteeritud kehtivuses. Erinevate tõestusmeetodite mõistmine mitte ainult ei tugevda analüütilisi oskusi, vaid rikastab ka õpikogemust ja matemaatika rakendamist erinevates valdkondades.
See artikkel käsitleb mõningaid peamisi matemaatika tõestusmeetodeid, sealhulgas otsest tõestamist, kaudset tõestamist (vasturääkimine ja vastuolu), matemaatilist induktsiooni ja tõestamist konkreetse näite abil. Igal meetodil on erinevad rakendused, tugevused ja nõrkused. Uurime neid lähemalt.
1. Otsene tõestus
Definitsioon ja näited
Otsene tõestus on meetod, mille puhul me tõestame väidet, näidates, et kui eeldused (ruumid) on tõesed, siis on ka järeldus tõene. Otseses tõestuses alustame tavaliselt teadaolevast ja kasutame järelduseni jõudmiseks loogilisi samme.
Kontoh:
Tõesta, et kui \(n\) on paarisarv, siis on ka \(n^2\) paarisarv.
Tõestus:
Oletame, et n on paarisarv. Siis, vastavalt paarisarvu definitsioonile, saab kirjutada, et n = 2k mingi täisarvu k korral. Seega
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
On selge, et \(n^2\) saab esitada täisarvu kahekordse korrutisena (st \(2k^2\)). Kuna paarisarvu peamine nõue on, et seda saaks esitada täisarvu kahekordse korrutisena, siis on ka \(n^2\) paarisarv.
2. Kaudsed tõendid
Kaudne tõestus hõlmab kahte peamist lähenemisviisi: tõestamine vastuväite abil ja tõestamine vastuolu abil.
a. Vastupidisuse tõestus
Definitsioon ja näited
See meetod hõlmab implikatiivse väite „kui \(P\), siis \(Q\)“ tõestamist väite kontrapositiivse väite „kui mitte \(Q\), siis mitte \(P\)“ tõestamise teel.
Kontoh:
Tõesta, et kui n^2 on paaritu arv, siis on ka n paaritu arv.
Tõestus:
Selle lause vastandlause on: Kui \(n\) ei ole paaritu (ega paarisarv), siis \(n^2\) ei ole paaritu (ega paarisarv).
Oletame, et n = paarisarv, siis täisarvu k korral n = 2k. Seega
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
See tähendab, et \(n^2\) on paarisarv. Seega on vastupidine väide tõestatud ja ka algne väide on garanteeritult tõene.
b. Tõestus vastuolu abil
Definitsioon ja näited
Vastuolulise tõestuse puhul eeldatakse, et tõestatav väide on väär, ja näidatakse, et see eeldus viib loogilise vastuoluni.
Kontoh:
Tõesta, et \(\sqrt{2}\) on irratsionaalarv.
Tõestus:
Oletame selle asemel, et \(\sqrt{2}\) on ratsionaalarv. Siis \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), kus \(a\) ja \(b\) on suhteliselt algarvud (lahutustegur on 1) ja \(b \ne 0\). Seega saame kirjutada:
\[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]
\[2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[2b^2 = a^2 \]
Sellest võrrandist näeme, et \(a^2\) on paarisarv, mis tähendab, et \(a\) peab samuti olema paarisarv. Oletame, et \(a = 2k\), siis on meil:
\[2b^2 = (2k)^2 \]
\[2b^2 = 4k^2 \]
\[ b^2 = 2k^2 \]
Kuna \(b^2\) on paarisarv, siis peab ka \(b\) olema paarisarv. See tähendab, et nii \(a\) kui ka \(b\) on paarisarvud, mis on vastuolus algse eeldusega, et \(\frac{a}{b}\) on oma lihtsaimal kujul. Seega \(\sqrt{2}\) ei saa olla ratsionaalarv ja seetõttu on see irratsionaalarv.
3. Matemaatiline induktsioon
Definitsioon ja näited
Matemaatiline induktsioon on tõestusmeetod, mida kasutatakse täisarve hõlmavate väidete tõestamiseks. Protsess koosneb kahest etapist: induktsiooni baasist ja induktsioonietapist.
Kontoh:
Tõesta, et esimese täisarvude rea summa on \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Tõestus:
– Induktsiooni alus:
(n = 1) puhul
\[1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
õige.
– Induktsiooni etapid:
Eeldame, et väide on tõene arvu \(k\) korral. See tähendab, et
\[1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Peame tõestama, et see kehtib ka ∈ k + 1 korral. Lisame võrrandi mõlemale poolele ∈ k + 1:
\[1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Seega kehtib väide \(k + 1\) korral. Seega matemaatilise induktsiooni printsiibi kohaselt kehtib väide kõigi positiivsete täisarvude \(n\) korral.
4. Tõestus konkreetsete näidetega
Definitsioon ja näited
See meetod hõlmab tõestamist konkreetsete näidete valimise teel, mis vastavad kõigile väites esitatud tingimustele ja näitavad, et väide on tõene. Tavaliselt kasutatakse seda meetodit aga väite vääraks tõestamiseks.
Kontoh:
Tõesta, et on olemas arve, mida ei saa esitada kahe täisruudu summana.
Tõestus:
Proovige näidet \(3\):
Oletame, et \(3\) saab esitada kahe täisarvu ruudu summana, nimelt \(a^2 + b^2 = 3\). Pärast täisarvude \(a\) ja \(b\) kõigi kombinatsioonide proovimist,
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (võimatu).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (võimatu).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (võimatu).
4. Negatiivsed arvud või arvud, mis on suuremad kui 2, pole samuti võimalikud.
See näitab, et \(3\)-i ei saa avaldada kahe ruutarvu summana. Seega on arve, mida ei saa avaldada kahe täieliku ruutarvu summana.
Järeldus
Matemaatilised tõestused nõuavad erinevaid metoodikaid ja süstemaatilisi samme, olenevalt tõestatava väite tüübist. Otsene tõestus, kaudne tõestus (vastuoluline ja vastuoluline), matemaatiline induktsioon ja erinäited on mõned peamised tõestusmeetodid, mida kasutatakse erinevates olukordades. Nende meetodite mõistmine tugevdab matemaatika põhitõdesid ja aitab teil sügavamalt uurida matemaatika erinevaid harusid.
Harjutamise ja põhjaliku mõistmise abil saavad matemaatilistest tõestusmeetoditest vahendid, mida saab alati kasutada keerukate matemaatiliste probleemide lahendamisel.
