Näide positsioonivektorite arutamise probleemidest
Vektorid on matemaatika ja füüsika põhimõiste, mis esindavad nii suuna kui ka suurusega suurusi. Erinevates rakendustes kasutatakse vektoreid sageli asukoha, kiiruse, jõu ja paljude muude parameetrite kirjeldamiseks. Erinevat tüüpi vektorite hulgas mängivad asukohavektorid olulist rolli punkti asukoha kaardistamisel ruumis.
Positsioonivektori definitsioon
Positsioonivektor on vektor, mis kirjeldab punkti asukohta koordinaatsüsteemi alguspunkti suhtes. Üldiselt kirjutatakse positsioonivektor ristkoordinaatides järgmiselt:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Siin on \(\mathbf{r}\) positsioonivektor, \(x\), \(y\) ja \(z\) on selle komponendid vastavalt piki \(x\), \(y\) ja \(z\) telge, samas kui \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) ja \(\mathbf{k}\) on vastavalt koordinaattelgedega paralleelsed ühikvektorid. Kahemõõtmelises ruumis \(z\) komponenti üldiselt ei eksisteeri, seega positsioonivektor saab olema:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Positsioonivektori rakendused
Näiteks füüsikas mängivad positsioonivektorid objektide liikumise kirjeldamisel olulist rolli. Objekti asukohta alguspunkti (võrdluspunkti) suhtes saab esitada positsioonivektoriga. Lisaks hõlmavad masinaehituses jõudude ja momentide arvutamine sageli positsioonivektorite kasutamist.
Näidisküsimused ja positsioonivektorite arutelu
Küsimus 1
Oletame, et 3D-ruumis on kaks punkti: punkt A koordinaatidega \( (1, 2, 3) \) ja punkt B koordinaatidega \( (4, 0, -2) \). Määrake punktide A ja B asukohavektorid. Lisaks arvutage punkt A ja B ühendav vektor.
Arutelu:
Punkti A asukohavektor:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Punkti B asukohavektor:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Järgmiseks, punkti A ja punkti B ühendava vektori (nimetatakse \(\mathbf{AB}\)) leidmiseks peame A positsioonivektori lahutama punkti B positsioonivektorist:
[ AB = r_B – r_A ]
Seega, asendades kaks ülaltoodud positsioonivektorit:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4–1)\mathbf{i} + (0–2)\mathbf{j} + (-2–3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Seega punkti A ja B ühendav vektor on \(3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
Küsimus 2
Kui punkt P asub tasapinnal ∑₀, siis leia positsioonivektori ∑₀ pikkus (norm).
Arutelu:
Punkti P asukohavektor:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Positsioonivektori \(\mathbf{r_P}\) pikkust saab arvutada vektori normi (või pikkuse) valemi abil:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Asendage x ja y väärtused:
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Seega positsioonivektori \(\mathbf{r_P}\) pikkus on \(\sqrt{13}\).
Küsimus 3
Oletame, et punkt Q asub punktis \( (5, -4, 2) \). Leia nurk positsioonivektori \(\mathbf{r_Q}\) ja \(x\)-telje vahel.
Arutelu:
Punkti Q asukohavektor:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Vektori \(\mathbf{r_Q}\) ja \(x\) telje vahelise nurga leidmiseks võime kasutada skalaarkorrutise mõistet. Esmalt määrame \(\mathbf{r_Q}\) ja \(\mathbf{i}\) vahelise skalaarkorrutise:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \c{i \mathb]
Kuna Σi = 1, Σj = 0 ja Σk = 0, siis:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norm (r_Q) funktsioonil:
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Funktsiooni \(\mathbf{i}\) norm on 1, sest \(\mathbf{i}\) on ühikvektor.
Nurk θετικη leidmiseks kasutage skalaarkorrutise valemit:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[5 = 3 qrt{5} \cos\teeta}
\[ \cos\teeta = \frac{5}{3\qrt{5}} \]
\[ \cos\teeta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\teeta = \frac{5\qrt{5}}{15} \]
\[ \cos\teeta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Seega positsioonivektori (r_Q) ja x-telje vaheline nurk theta on:
\[ \theta = \cos^{-1} \vasak(\frac{\sqrt{5}}{3}\parem) \]
Järeldus
Positsioonivektoritel on teaduses ja inseneriteaduses oluline roll, eriti objektide asukoha kaardistamisel koordinaatruumis. Ülaltoodud näited demonstreerivad, kuidas arvutada positsioonivektoreid, nende pikkusi ja nurki nende ja koordinaattelgede vahel. Nende põhimõistete mõistmine on hindamatu väärtusega mitmesuguste ruumi ja koordinaatidega seotud probleemide lahendamisel matemaatikas ja füüsikas.
