Näidisküsimused grupiandmete dispersiooni ja standardhälbe kohta
Pendahuluan
Statistikas on dispersioon ja standardhälve kaks statistilist mõõdikut, mis on olulised andmete hajuvuse ehk leviku mõistmiseks keskmisest. Dispersioon mõõdab, kui kaugele andmed keskmisest hajuvad, standardhälve aga on dispersiooni ruutjuur, mis annab mõõtmise samades ühikutes kui algsed andmed.
Definitsioon
– Dispersioon (σ² või S²): on iga andmeväärtuse ja andmete keskmise erinevuste ruutude keskmine.
– Standardhälve (σ või S): on dispersiooni ruutjuur.
Grupiandmete dispersiooni ja standardhälbe valem
Rühmaandmete puhul kasutame iga klassi andmete sagedust. Siin on valem:
Varian
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \vasak(x_i – \bar{x} \parem)^2}{N-1} \]
Standardhälve
\[S = \qrt{S^2} \]
Kus:
– \(f_i \) = iga klassi sagedus.
– \(x_i \) = iga klassi keskpunkt.
– \( \bar{x} \) = grupi andmete keskmine.
– \(N \) = andmete koguarv.
Näidisküsimused ja arutelu
Oletame, et meil on olemas klassidesse rühmitatud inimeste kaaluandmed.
| Kaaluvahemik (kg) | Sagedus (f) |
|—————————|—————–|
| 50–54 | 2 |
| 55–59 | 5 |
| 60–64 | 8 |
| 65–69 | 7 |
| 70–74 | 3 |
Esimene samm on iga klassi keskpunkti ( \( x_i \) ) määramine ja seejärel keskmise ( \( \bar{x} \)) arvutamine.
1. Keskpunkti arvutamine ( \(x_i \) )
\[ \text{Keskpunkt} = \frac{\text{Alumine piir} + \text{Ülemine piir}}{2} \]
| Kaaluvahemik (kg) | Sagedus (f) | Keskpunkt ( \( x_i \) ) |
|———————|—————–|—————————|
| 50–54 | 2 | 52 |
| 55–59 | 5 | 57 |
| 60–64 | 8 | 62 |
| 65–69 | 7 | 67 |
| 70–74 | 3 | 72 |
2. Keskmise arvutamine ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{N} \]
Andmete koguarv \(N \):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 korda 52) + (5 korda 57) + (8 korda 62) + (7 korda 67) + (3 korda 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Seega keskmine (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8 \]
3. Dispersiooni ( \(S^2 \) ) arvutamine
Me peame arvutama \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align }
(x_i – ∫bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Korrutades sagedusega:
\[
\begin{align }
f_i (x_i – ∫bar{x})^2: & 2 korda 118.84 = 237.68
& 5 korda 33.64 = 168.2
& 8 korda 0.64 = 5.12
& 7 korda 17.64 = 123.48
& 3 korda 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
Σf_i (x_i – Σx)^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Nüüd saame arvutada dispersiooni (\(S^2 \)):
\[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \umbes 32.85 \]
4. Standardhälbe (\(S\)) arvutamine
Standardhälve (\(S\)):
\[S = \sqrt{S^2} \]
\[S = \sqrt{32.85} \umbes 5.73 \]
Järeldus
Ülaltoodud näidisandmete põhjal on meil:
– Keskmise kehakaalu arvutamine: 62.8 kg
– Dispersiooni arvutamine: 32.85 kg²
– Standardhälbe arvutamine: 5.73 kg
Standardhälbe tõlgendus on see, et kaaluandmete keskmine hälve keskmisest on ligikaudu 5.73 kg. See näitab andmete hajuvust keskmise suhtes, mis aitab järeldada meie andmete varieeruvust.
Dispersiooni ja standardhälbe põhjalik mõistmine on ülioluline, eriti statistika, uuringute ja testimise valdkonnas töötavatele inimestele, kuna nad püüavad mõista andmeid rühmade või jaotuste kujul. Nende kahe mõõdiku arvutamise ja tõlgendamise tundmine aitab olemasolevate andmete põhjal paremaid otsuseid langetada.
