Näidisküsimused lineaarsete võrratussüsteemide kohta
Lineaarsete võrratuste süsteem on matemaatika haru, mis käsitleb mitme lineaarse võrratuse vahelisi seoseid. See süsteem koosneb kahest või enamast võrratusest, mille lahendamisel tuleb leida lahendite hulk, mis rahuldab kõiki võrratusi samaaegselt. Lineaarsete võrratuste süsteemide arutelusid kohtab sageli matemaatika õppekavas põhikoolis ja gümnaasiumis, nii eksamiküsimustes kui ka igapäevatöös.
Lineaarsetel võrratussüsteemidel on arvukalt reaalseid rakendusi, alates ressursside optimeerimisest ja finantsplaneerimisest kuni logistikani. Nende kontseptsioonide mõistmine on ülioluline mitte ainult matemaatikaülesannete lahendamiseks koolis, vaid valmistab õpilasi ette ka igapäevaste probleemide loogiliseks ja tõhusaks lahendamiseks. Allpool on toodud mõned näidisülesanded ja arutelud lineaarsete võrratussüsteemide kohta.
Näidisküsimus 1
Küsimus:
Määrake järgmise lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk:
\[
\begin{cases}
x + y ≤ 6
x – y \geq 2
\end{cases}
\]
Arutelu:
1. Tõmmake igale ebavõrdsusele piirjoon:
Kui \(x + y \leq 6\), siis joonistame joone \(x + y = 6\):
– Kui \(x = 0\), \(y = 6\) annab punkti (0, 6).
– Kui y = 0 ja x = 6, siis saadakse punkt (6, 0).
Kui \(x – y \geq 2\), siis joonistame joone \(x – y = 2\):
– Kui \(x = 2\), \(y = 0\) annab punkti (2, 0).
– Kui \(y = -2\), \(x = 0\) annab punkti (0, -2).
2. Määrake asustusala:
– Sirge \(x + y = 6\) jagab selle kaheks piirkonnaks ja me kontrollime ühte testpunkti, mis ei asu sirgel, näiteks punkti (0, 0):
\[
0 + 0 ≤ 6 ≤ (\text{true})
\]
Seega pindala, mis rahuldab tingimust, asub sirgest (x + y = 6) allpool või vasakul.
– Sirge \(x – y = 2\) jagab ekraani jälle kaheks piirkonnaks ja me kontrollime punkti (0, 0):
\[
0 – 0 ≤ 2 ≤ (vale)
\]
Seega pindala, mis rahuldab tingimust, asub sirgest \(x – y = 2\) ülalpool või paremal.
3. Määrake kahe piirkonna lõikepunkt:
Süsteemi lahend on piirkond, mis rahuldab mõlemat võrratust. Otsime kahe piirkonna lõikepunkti, mis vastab mõlema võrratuse suunale.
Järeldus:
Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk on kõik punktid kahe piirkonna lõikepunktis, mis vastavad tingimustele \(x + y \leq 6\) ja \(x – y \geq 2\).
Näidisküsimus 2
Küsimus:
Määrake järgmise lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk esimeses kvadrandis:
\[
\begin{cases}
2x + 3y ≤ 12
x \geq 0 \\
y \geq 0 \\
\end{cases}
\]
Arutelu:
1. Tõmmake igale ebavõrdsusele piirjoon:
∫みの (2x + 3y = 12) jaoks joonistame joone ∫み (2x + 3y = 12):
– Kui \(x = 0\), \(y = 4\) annab punkti (0, 4).
– Kui y = 0 ja x = 6, siis saadakse punkt (6, 0).
2. Määrake asustusala:
– Sirge \(2x + 3y = 12\) ja testpunkt (0, 0):
\[
2(0) + 3(0) ≤ 12 ≤ 4,5 ...
\]
Seega pindala, mis rahuldab tingimust, asub sirgest \(2x + 3y = 12\) allpool või vasakul.
– \(x \geq 0\) ja \(y \geq 0\) näitavad, et lahendipunkt asub esimeses kvadrandis.
3. Määrake kahe piirkonna lõikepunkt:
Süsteemi lahend on esimeses kvadrandis asuv pindala, mis asub sirgest \(2x + 3y = 12\) allpool või vasakul.
Järeldus:
Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk on esimese kvadrandi punktid, mis rahuldavad tingimust \(2x + 3y \leq 12\).
Näidisküsimus 3
Küsimus:
Määrake järgmise lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk:
\[
\begin{cases}
y ∫ 2x – 3
y ∫q -x + 1
\end{cases}
\]
Arutelu:
1. Tõmmake igale ebavõrdsusele piirjoon:
Kui y = 2x – 3, siis joonistame joone y = 2x – 3:
– Kui \(x = 0\), \(y = -3\) annab punkti (0, -3).
– Kui y = 0 ja x = 1,5, siis saadakse punkt (1.5, 0).
η = -x + 1 jaoks joonistame joone η = -x + 1:
– Kui \(x = 0\), \(y = 1\) annab punkti (0, 1).
– Kui y = 0 ja x = 1, siis saadakse punkt (1, 0).
2. Määrake asustusala:
– Sirget \(y \geq 2x – 3\) kontrollitakse punktiga (0, 0):
\[
0 \geq 2(0) – 3 \quad (\text{true})
\]
Seega pindala, mis rahuldab tingimust, asub sirgest \(2x – 3\) ülalpool või paremal.
– Sirget \(y \leq -x + 1\) kontrollitakse punktiga (0, 0):
\[
0 ≤ -0 + 1 ≤ (\text{true})
\]
Seega pindala, mis rahuldab tingimust, asub sirgest \(-x + 1\) allpool või vasakul.
3. Määrake kahe piirkonna lõikepunkt:
Süsteemi lahend on piirkond, mis rahuldab mõlemat võrratust. Otsime kahe võrratuse lõikepunkti.
Järeldus:
Lineaarsete võrratuste süsteemi lahendite hulk on punktid piirkonna lõikepunktis, mis rahuldavad tingimust y ≤ 2x – 3 ja y ≤ -x + 1.
Lineaarsete võrratussüsteemide lahendamise mõistmise abil loodetakse, et õpilased muutuvad matemaatiliste probleemide lahendamisel ja nende mõistete igapäevastes olukordades rakendamisel osavamaks. Loodetavasti aitavad need näidisülesanded ja arutelud õpilastel õppida ja mõista lineaarsete võrratussüsteemide põhimõisteid.
