Näidisküsimused lineaarvõrrandite ja ebavõrdsuste süsteemide kohta
Lineaarvõrrandisüsteemid ja võrratused on matemaatikas oluline teema, millel on laialdane rakendus erinevates valdkondades, näiteks majanduses, loodusteadustes ja inseneriteaduses. Selles artiklis käsitleme näidisülesandeid, mis hõlmavad lineaarvõrrandisüsteeme ja võrratusi, ning seda, kuidas neid üksikasjalikult lahendada.
Lineaarvõrrandisüsteemi definitsioon
Lineaarvõrrandisüsteem koosneb kahest või enamast omavahel seotud lineaarvõrrandist. Näited on:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 5
4x – y = 1
\end{cases}
\]
Selle võrrandisüsteemi lahendamise eesmärk on leida x ja y väärtused, mis rahuldavad samaaegselt mõlemat võrrandit.
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise meetodid
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on mitu meetodit, sealhulgas:
1. Asendusmeetod
2. Elimineerimismeetod
3. Maatriksimeetod (pöördvõrdeline või Gauss-Jordani meetod)
Näidisküsimus 1: Asendusmeetod
Lahendame järgmise süsteemi asendusmeetodi abil:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 10
3x – y = 5
\end{cases}
\]
Sammud:
1. Eraldage ühes võrrandis üks muutuja.
Esimesest võrrandist eraldame \(x\):
\[
x = 10–2y
\]
2. Asenda leitud avaldis teise võrrandisse.
Asendage teise võrrandisse \(x = 10 – 2y\):
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Lahenda \(y\) jaoks:
\[
30 – 6a – a = 5
\]
\[
30 – 7a = 5
\]
\[
-7a = -25
\]
\[
y = ∫²⁻¹ (7)
\]
3. Kasutage leitud väärtusi teiste muutujate leidmiseks.
Asenda \(x\) avaldisesse tagasi \(y = \frac{25}{7}\):
\[
x = 10 – 2 (\frac{25}{7})
\]
\[
x = 10 – ∫frac{50}{7}
\]
\[
x = ∫₀ 70°C – ∫₀ 50°C
\]
\[
x = ∫(20)²
\]
Seega on süsteemi lahendid x = 20% või 7% ja y = 25% võrra.
Näidisküsimus 2: Elimineerimismeetod
Järgmisena kasutame elimineerimismeetodit järgmise süsteemi lahendamiseks:
\[
\begin{cases}
2x + 3y = 12
4x + 6a = 24
\end{cases}
\]
Sel juhul näeme, et teine võrrand on esimese võrrandi kordne. Süsteemi taandamiseks saame esimese võrrandi korrutada kahega ja seejärel lahutada selle teisest võrrandist:
1. Korrutage esimene võrrand kahega:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6a = 24
\]
2. Lahuta korrutatud esimene võrrand teisest võrrandist:
\[
(4x + 6a) – (4x + 6a) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
See annab tulemuseks \(0 = 0\), mis näitab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendeid ja need võrrandid on sõltuvad.
Näidisküsimus 3: Lineaarsed võrratused
Lineaarsed võrratused järgivad lineaarvõrranditega sarnaseid põhimõtteid, kuid hõlmavad võrratusmärke, näiteks \(<, \leq, >, \geq\). Vaatame lihtsat näidet:
\[
\begin{cases}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Sammud: 1. Selle süsteemi lahendipiirkonna määramiseks kasutame graafilist meetodit. Joonistage iga võrratus. 2. Teisendage võrratus võrrandiks, et määrata äärejoon: \(3x - y < 7\) korral on äärejoon \(3x - y = 7\)
