Näidisküsimused trigonomeetriliste suhtarvude kohta
Trigonomeetria on matemaatika haru, mis tegeleb kolmnurkade pikkuste ja nurkade vahelise seosega. Trigonomeetrilistel suhetel on võtmeroll erinevates valdkondades, näiteks inseneriteaduses, füüsikas, astronoomias ja isegi igapäevaelus. See artikkel annab ülevaate mitmest näidisülesandest ja nende lahendustest, mis aitavad teil mõista trigonomeetriliste suhete põhimõisteid.
Trigonomeetrilised suhted täisnurksetes kolmnurkades
Alustame täisnurkse kolmnurga põhisuhete mõistmisest. Neid suhteid tuntakse siinusena (sin), koosinusena (cos) ja tangensina (tan). Täisnurkses kolmnurgas on kolm olulist külge, mida peame tuvastama:
1. Vastaskülg: külg, mis asub otse vaadeldava nurga vastas.
2. Kõrvalkülg: külg, mis asub vaadeldava nurga kõrval.
3. Hüpotenuus: Täisnurkse kolmnurga pikim külg, mis asub täisnurga vastas.
Näidisküsimus 1
Antud on täisnurkne kolmnurk nurgaga θ, kus nurga θ vastaskülje pikkus on 3 ühikut, naaberkülje pikkus on 4 ühikut ja hüpotenuusi pikkus on 5 ühikut. Leia nurga θ sin, cos ja tan väärtused.
Lahendus:
Nurga θ siinuse, koosinuse ja tangensi väärtuste leidmiseks kasutame trigonomeetrilise suhte põhivalemeid:
– Siinus (sinus) θ = esikülg / hüpotenuus
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Koosinus (cos) θ = Külg Külg / Hüpotenuus
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Puutuja (tan) θ = Eesmine külg / Külg
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Teiste nurkade trigonomeetrilised seosed
Trigonomeetrilisi suhteid saab rakendada ka teist tüüpi kolmnurkade, sealhulgas võrdkülgsete ja korrapäraste kolmnurkade nurkade puhul. Oluline on mõista põhireegleid, nagu siinusreegel ja koosinusreegel, mis kehtivad ka mitte täisnurksete kolmnurkade kohta.
Näidisküsimus 2
Antud on kolmnurk ABC, mille küljed a = 7 cm, b = 24 cm ja nurk C = 90°. Leia külje c pikkus ning nurkade A ja B väärtused.
Lahendus:
Kuna nurk C on täisnurk, saame Pythagorase teoreemi abil leida külje c (hüpotenuusi) pikkuse:
\[c = \qrt{a^2 + b^2} \]
\[c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[c = \sqrt{49 + 576} \]
\[c = \qrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]
Järgmisena, nurkade A ja B väärtuse määramiseks saame kasutada põhilisi trigonomeetrilisi suhteid.
Nurga A jaoks kasutame koosinust:
\[ \cos A = \frac{\text{kõrvalolev külg}}{\text{hüpotenuus}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \vasak(\frac{24}{25}\parem) \]
Nurga B jaoks kasutame siinust:
\[ \sin B = \frac{\text{esikülg}}{\text{hüpotenuus}} = \frac{24}{25} \]
\[B = \sin^{-1} \vasak(\frac{24}{25}\parem) \]
Sest täisnurkses kolmnurgas peab kõigi teiste nurkade summa peale täisnurga olema 90°:
\[ A + B = 90° \]
\[ A = 90° – B \]
Siinusreegel
Siinusreegel on sõnastatud järgmiselt:
[a) = b) B = c) C]
Näidisküsimus 3
Antud on kolmnurk, mille külje pikkus a = 8 cm, külje pikkus b = 15 cm ja nurga pikkus C = 60°. Leia nurk A ja külje pikkus c siinusreegli abil.
Lahendus:
Esmalt kasutage siinusreeglit, et leida üks teistest nurkadest (näiteks nurk A):
[a) = c)
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Kõigepealt peame arvutama c väärtuse. Kuna nurk C on 60°, saame kasutada koosinusreeglit:
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[c^2 = 289 – 120 \]
\[c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]
Nüüd leiame nurga A:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
Kuna (\sin 60° = √(3)/2):
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Lõpuks, kasutades pöördsinust:
\[A = \sin^{-1}\vasak(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\parem) \]
Koosinuse reegel
Koosinuse reegel ütleb:
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Näidisküsimus 4
Antud on kolmnurk, mille külje pikkus a = 9 cm, külje pikkus b = 12 cm ja külje pikkus c = 15 cm. Leia nurk C.
Lahendus:
Nurga C leidmiseks kasutame koosinusreeglit:
\[c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144–216 \cos C \]
\[225 = 225 – 216 \cos C \]
\[0 = -216 \cos C \]
\[ \kos C = 0 \]
Siit me teame, et nurk C on 90°, sest cos 90° = 0.
Need on mõned näidisülesanded, mis aitavad teil mõista trigonomeetrilisi suhteid. Jätkuv harjutamine erinevate ülesannetega aitab oluliselt tugevdada teie arusaamist nendest mõistetest. Loodame, et see artikkel on teie õppimisel abiks olnud!
