Näidisküsimus kahe vektori liitmise kohta rööpküliku meetodi abil
Vektorite liitmine on füüsikas ja matemaatikas oluline mõiste, mida sageli kasutatakse loodusnähtuste ja igapäevaelu probleemide kirjeldamiseks. Kahe vektori liitmiseks on mitu meetodit, millest üks on rööpküliku meetod. See meetod pole mitte ainult intuitiivne, vaid pakub ka võimsat visualiseeringut sellest, kuidas kaks vektorit kombineeruvad resultantvektoriks. Selles artiklis vaatleme mitmeid näiteid vektorite liitmisest rööpküliku meetodi abil koos nende lahenditega.
Mis on vektor?
Enne näidisülesannete juurde asumist peame mõistma vektori põhidefinitsiooni. Vektor on suurus, millel on nii suurus (pikkus) kui ka suund. Klassikalisteks vektorite näideteks on kiirus, kiirendus, jõud ja nihe. Vektorit saab esitada selle komponentidena (i, j, k) ristkoordinaatides või selle pikkuse ja suunana (nurgana).
Parallelogrammi meetod
Rööpküliku meetod on üks viis kahe vektori liitmiseks. Selles meetodis esitame kahte vektorit rööpküliku kahe küljena. Saadud vektor on rööpküliku diagonaal, mis algab kahe vektori alguspunktist. Matemaatiliselt, kui meil on kaks vektorit \(\vec{A}\) ja \(\vec{B}\), siis tulemuseks on \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Parallelogrammi meetodi samm-sammult kasutamine on järgmine:
1. Joonesta alguspunktist vektor \(\vec{A}\).
2. Vektori \(\vec{A}\) lõpust joonista vektor \(\vec{B}\).
3. Tõmba alguspunktist \(\vec{A}\) vektoriga \(\vec{B}\) paralleelne joon.
4. Tõmba vektori \(\vec{B}\) lõpust vektoriga \(\vec{A}\) paralleelne joon.
5. Joonesta diagonaal alguspunktist vastasnurka, et saada tulemuseks vektor \(\vec{R}\).
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1
Oletame, et meil on kaks vektorit \(\vec{A}\) ja \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) pikkus (suurusjärk) on 5 ühikut ja suund 0° (ehk positiivse x-telje suunas),
– \(\vec{B}\) on 3 ühiku pikkune ja suunatud 90° suunas (või mööda positiivset y-telge).
Milline on nende kahe vektori liitmise tulemus rööpküliku meetodil?
Arutelu:
1. Joonesta vektor \(\vec{A}\) piki positiivset x-telge pikkusega 5 ühikut.
2. Joonesta vektori \(\vec{A}\) lõpust mööda positiivset y-telge vektor \(\vec{B}\) pikkusega 3 ühikut.
3. Tõmba alguspunktist \(\vec{A}\) joon, mis on paralleelne punktiga \(\vec{B}\).
4. Joonista \(\vec{B}\) otsast paralleelne joon \(\vec{A}\)-ga.
5. Tulemuseks on rööpkülik, mille diagonaal on resultantvektor \(\vec{R}\).
Kuna \(\vec{A}\) ja \(\vec{B}\) on teineteisega risti, saame Pythagorase teoreemi abil arvutada resultantvektori pikkuse:
\[R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \um 5.83 \]
Resultantvektori suunda saab arvutada trigonomeetria abil. Kui \(\theta\) on nurk resultantvektori ja \(\vec{A}\) vahel:
\[ \tan(\theta) = \frac{B}{A} = \frac{3}{5} \]
seega:
\[ \theta = \tan^{-1}\vasak(\frac{3}{5}\parem) \umbes 30.96^\circ \]
Seega on saadud vektori \(\vec{R}\) suurus umbes 5.83 ühikut ja suund \(\vec{A}\) suhtes umbes 30.96°.
Küsimus 2
Kaks vektorit \(\vec{C}\) ja \(\vec{D}\) on antud järgmiselt:
– \(\vec{C}\) pikkusega 4 ühikut ja suunaga 45°.
– \(\vec{D}\) pikkusega 6 ühikut ja suunaga 120°.
Määrake kahe vektori liitmisest saadud vektor \(\vec{R}\).
Arutelu:
Kahe vektori liitmiseks, mis ei ole teineteisega risti või on erineva kujuga, saab kasutada Cartesiuse komponente.
1. Jaota \(\vec{C}\) ja \(\vec{D}\) x- ja y-komponentideks.
C-koodi jaoks:
\[C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \umbes 2.83 \]
\[C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \umbes 2.83 \]
D-koodi jaoks:
\[D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \umbes 5.20 \]
2. Liida mõlema vektori x- ja y-komponendid:
\[R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. Arvutage saadud vektori \(\vec{R}\) suurus ja suund:
\[R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \um 8.03 \]
\[ \theta = \tan^{-1}\vasak(\frac{R_y}{R_x}\parem) = \tan^{-1}\vasak(\frac{8.03}{-0.17}\parem) \umbes \tan^{-1}(-47.24) \]
Kuna tulemus on negatiivne, liidame nurga õiges kvadrantsüsteemis saamiseks 180°:
\[ \theta \ligikaudu \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \ligikaudu 271.93^\circ \]
Seega on saadud vektori (\vec{R}\) suurus umbes 8.03 ühikut ja suund umbes 271.93° ehk umbes 91.93° neljanda kvadrandi negatiivse x-telje suhtes.
Sulgemine
Rööpküliku meetod on efektiivne ja visuaalne viis kahe vektori liitmiseks. Kuigi see meetod võib lihtsate vektorite puhul tunduda lihtne, on oluline mõista, et keerukamate vektorite puhul peame täpsete tulemuste saamiseks sageli kasutama Cartesiuse komponente ja keerukamaid algebralisi meetodeid. Loodetavasti annavad ülaltoodud näited selge pildi sellest, kuidas seda meetodit saab erinevates olukordades rakendada.
