Näidisküsimused ja arutelu ringide ja puutujate kohta
Ringid ja puutujad on matemaatikas kaks sageli arutatavat teemat, eriti keskkooli tasemel. Ringide puutujate kontseptsiooni ja rakendamise mõistmine on geomeetriateadmiste süvendamiseks ülioluline. See artikkel pakub näidisülesandeid ja arutelusid ringide ja puutujate kohta, et anda lugejatele sügavam arusaam.
Sissejuhatus ringide ja puutujate teooriasse
Ring
Ring on tasapinnal asuvate punktide hulk, mis asuvad võrdsel kaugusel fikseeritud punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks. Seda fikseeritud kaugust nimetatakse ringi raadiuseks. Matemaatiliselt saab ringi defineerida järgmise võrrandiga:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
kus \(a, b)\) on ringi keskpunkti koordinaadid ja \(r\) on ringi raadius.
Puutuja
Ringi puutuja on sirge, mis puudutab ringi täpselt ühes punktis. Seda punkti nimetatakse puutepunktiks. Puutuja peamine omadus on see, et see on risti ringi keskpunktist puutepunkti tõmmatud raadiusega.
Näidisküsimused ja arutelu
Küsimus 1: Puutujajoone võrrandi määramine
Küsimus:
Antud on ring keskpunktiga \( (2, 3) \) ja raadiusega 5. Määrake punktis \( P \) koordinaatidega \( (5, 7) \) tõmmatud ringi puutuja sirge võrrand.
Arutelu:
1. samm: Veenduge, et punkt \(P \) asub tegelikult ringil.
Selleks, et kontrollida, kas \(P(5, 7) \) asub ringil, mille keskpunkt on \((2, 3) \) ja raadius \(5 \), asendame \(P \) koordinaadid ringi võrrandisse:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[(5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[3^2 + 4^2 = 25 \]
\[9 + 16 = 25 \]
Kuna võrdus on tõene, asub punkt \(P \) ringjoonel.
2. samm: Määrake punktidest \(2, 3) \) ja \(5, 7) \) läbiva raadiuse gradient:
\[m_{raadius} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
3. samm: Raadiuse gradiendiga risti oleva puutuja joone gradient (produkti gradient on -1):
\[ m_{tangent} = -\frac{1}{m_{raadius}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
4. samm: Määrake puutuja joone võrrand punkti \(P (5, 7) \) abil:
\[y – y_1 = m(x – x_1) \]
\[y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Lihtsusta:
\[y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[4y – 28 = -3x + 15 \]
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Seega puutuja joone võrrand on:
\[3x + 4y – 43 = 0 \]
Küsimus 2: Puutepunkti määramine sirge võrrandi abil
Küsimus:
Antud on ringjoon võrrandiga \(x^2 + y^2 = 25 \) ja sirge \(y = \frac{3}{4}x + 2 \). Määrake sirge ja ringi puutepunkt.
Arutelu:
1. samm: Asendage sirge võrrand ringi võrrandiga:
Ringi võrrand:
\[x^2 + y^2 = 25 \]
Asenda ringjoone võrrandisse \(y = \frac{3}{4}x + 2 \):
\[x^2 + \vasak(\frac{3}{4}x + 2\parem)^2 = 25 \]
\[x^2 + \vasak(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
2. samm: lihtsusta võrrandit:
\[16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
3. samm: juurte leidmine ruutvõrrandi abil:
\[ x = \frac{-b \pm qrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm qrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \qrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Kehtiva \(x \) valimine puutepunkti põhjal (ainult üks \(x \) loob puutepunkti):
\[ x = \frac{141.501}{50} \umbes 2.83 \]
\[ x \umbes 2.83 \]
4. samm: Asendage \(x \) sirge võrrandisse, et saada \(y \):
\[y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[y \umbes 2.12 + 2 \]
\[y \umbes 4.12 \]
Seega on joone \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) ja ringi \(x^2 + y^2 = 25 \) puutepunkt \((2.83, 4.12) \).
Järeldus
Ringi ja puutuja mõistete omandamine hõlmab geomeetria põhitõdede mõistmist ja oskust lahendada probleeme matemaatiliste võrrandite abil. Sellised probleemid nagu ülaltoodud aitavad õpilastel harjutada teooria rakendamist konkreetsemates olukordades. Järjepideva harjutamise korral eeldatakse, et õpilased mõistavad ja lahendavad probleeme kergemini.
