Näidisküsimused ringide ja puutujate kohta
Ringid on maatriksgeomeetrias oluline teema, kus demonstreeritakse olulisi mõisteid kauguse, nurkade ja kujundite kohta. Üks selles teemas sageli käsitletav mõiste on ringi puutuja. Selles artiklis käsitleme mitmeid ringide ja puutujatega seotud näidisülesandeid.
Ringide ja puutujate põhiteadmised
Ring
Ring on geomeetriline kujund, mis on moodustatud kõigi tasapinna punktide hulgast, mis asuvad kindlal kaugusel antud punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks. Seda kindlat kaugust nimetatakse ringi raadiuseks.
Puutuja
Ringi puutuja on sirge, mis puudutab ringi täpselt ühes punktis. Seda punkti nimetatakse puutepunktiks. Puutujatel on mitu olulist omadust, sealhulgas:
– Puutujajoon on puutepunktis alati ringi raadiusega risti.
– Ringjoonest väljaspool asuvast punktist ringile tõmmatud puutuja pikkus on sama, kui sellest punktist tõmmatakse kaks puutujat.
Näidisküsimused ja arutelud
Allpool esitame mitu näidisküsimust, mis käsitlevad ringide ja puutujate mõistet üksikasjalikumalt.
Näidisküsimus 1: Puutujajoone pikkuse leidmine
Küsimus:
Antud on ring keskpunktiga \(O\) ja raadiusega \(r = 6 \, \text{cm}\). Punktist \(P\) väljaspool ringi, mis asub ringi keskpunktist 10 cm kaugusel, tõmmatakse ringile kaks puutujat \(PA\) ja \(PB\). Arvutage puutuja \(PA\) pikkus.
Arutelu:
Selles ülesandes saame kasutada Pythagorase teoreemi. Joonesta kolmnurk \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (kaugus välimisest punktist ringi keskpunktini)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (ringi raadius)
– \(PA\) on puutujajoon, mis tuleb leida
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = ∫qrt{64} = 8, ∫cm}
\]
Seega puutuja joone \(PA\) pikkus on 8 cm.
Näidisküsimus 2: Puutepunkti leidmine
Küsimus:
Antud on ringjoon võrrandiga \(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) ja sirge \(y = 2x + 1\). Määrake ringi ja sirge puutepunkt.
Arutelu:
Esmalt määrame ringi keskpunkti ja raadiuse:
– Keskpunkt \(O(3, 4)\)
– Raadius (r = √25⁻² = 5)
Puutepunkti leidmiseks eeldame, et puutepunkt on \(T(x_1, y_1)\), mis asub samuti sirgel \(y = 2x + 1\). Siis:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
Fragment \(T(x_1, y_1)\) peab samuti rahuldama ringi võrrandit:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Asenda ringjoone võrrandisse \(y_1 = 2x_1 + 1\):
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Peame arvutama kaks ruutu.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Kombineeri mõlemad tulemused:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Lahuta mõlemalt poolt 25:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Lahenda ruutvõrrand:
\[
x_1 = ∫(18 pm ∫(18^2) + 4 × 5 × 7)}{2 × 5}
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18 ∫\pm{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫(18 pm/min ∫(464))/(10)
\]
\[
x_1 = ∫(18 pm²/sqrt{116})/(10)
\]
\[
x_1 = ∫\frac{18 ∫\pm²\sqrt{4 × 29}}{10}
\]
\[
x_1 = ∫(18 pm²/sqrt{29})/(10)
\]
\[
x_1 = 1.8 ∫pm 0.4 ∫qrt{29}
\]
Arvutage \(y_1\) väärtus:
Mis rahuldab tingimust y = 2x + 1:
– Kui \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), siis \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Kui \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), siis \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Hindamine:
Seega saame ringi võrrandi ja selle sirge kaks lõikepunkti.
Näidisküsimus 3: Puutuja joone võrrandi määramine
Küsimus:
Antud on ringjoon võrrandiga \(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Leidke punkti \(6, 7)\ läbiva ringi puutuja võrrand.
Arutelu:
Ringi, mille keskpunkt on \(h, k)\) ja raadius \(r\), puutuja teadaolevast välispunktist leitakse järgmise võrrandi abil:
Puutuja läbib välist punkti \(x_1, y_1)\):
\[
(x – 2) (x_1 – 2) + (y – 3) (y_1 – 3) = 20
\]
Asendage välimine punkt \(6, 7)\):
\[
(x – 2) (6 – 2) + (y – 3) (7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Puutuja joone võrrand on:
\[
x + y = 9
\]
Seega on ringjoone punkti läbiva joone võrrandi variatsioon väga suur ja võib muutuda sõltuvalt tulemusest või visuaalsest esitusest.
Järeldus
Ringide ja puutujate käsitlus hõlmab mitmeid matemaatika põhiaspekte, alates selliste põhivalemite nagu Pythagorase teoreemi rakendamisest kuni ruutvõrrandite lahendamiseni. Nende näidete abil saame paremini aru, kuidas neid mõisteid keerukates olukordades rakendada. Loodetavasti on see artikkel aidanud anda selge pildi sellest, kuidas ringide ja puutujatega seotud probleeme lahendada.
