Näited küsimustest ja määratud integraalide arutelust
Määratud integraal on matemaatilise analüüsi võtmemõiste, mida sageli kasutatakse kõvera aluse pindala leidmiseks, keerukate objektide ruumala arvutamiseks ja paljudes muudes rakendustes inseneriteaduses ja füüsikas. Määratud integraali arutamine mitte ainult ei anna selle kontseptsiooni põhiteadmisi, vaid tugevdab ka meie matemaatilise analüüsi oskusi. Selle artikli eesmärk on tuua näiteid määratud integraali probleemidest koos üksikasjalike aruteludega.
Määratud integraali põhimõiste
Enne näidisülesannete juurde asumist vaatame üle mõned määratud integraalide põhimõisted. Määratud integraal, mida tähistatakse kui \(\int_a^bf(x) \, dx\), kujutab funktsiooni \(f(x)\) kõvera alust pindala punktist \(x = a\) punktini \(x = b\).
Matemaatiliselt saab funktsiooni f(x) määratud integraali punktist a punkti b avaldada järgmiselt:
[ int_a^bf(x) , dx = F(b) – F(a) ]
kus \(F(x)\) on \(f(x)\) algfunktsioon.
Näidisküsimused ja arutelu
Vaatleme mõningaid näiteid kindlate integraalülesannete ja nende arutelude kohta.
Näidisküsimus 1
Küsimus:
Arvuta funktsiooni f(x) = 2x määratud integraal punktist x = 1 punktini x = 3.
Arutelu:
Selle integraali lahendamiseks leiame kõigepealt funktsiooni \(f(x) = 2x\) algfunktsiooni.
Funktsiooni \(2x\) algfunktsioon on:
\[ F(x) = x^2 + C \]
Määratud integraalides me aga integreerimiskonstanti \(C\) vaja ei ole.
Nüüd arvutage integraalide piirväärtuste abil:
[ int_1^3 2x , dx = F(3) – F(1) ]
Arvutage \(F(x)\) väärtus järgmistel piiridel:
\[F(3) = 3^2 = 9 \]
\[F(1) = 1^2 = 1 \]
Niisiis,
[ int_1^3 2x , dx = 9 – 1 = 8 ]
Näidisküsimus 2
Küsimus:
Arvutage funktsiooni f(x) = x^2 + 1 määratud integraal punktist x = 0 punktini x = 2.
Arutelu:
Leidke funktsiooni \(f(x) = x^2 + 1\) algfunktsioon.
Funktsiooni \(x^2\) algfunktsioon on:
\[ \frac{1}{3}x^3 \]
Fragmendi \(1\) algfunktsioon on \(x\).
Seega on funktsiooni \(f(x)\) algfunktsioon:
\[ F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x \]
Nüüd arvutage integraalide piirväärtuste abil:
[ int_0^2 (x^2 + 1) , dx = F(2) – F(0) ]
Arvutage \(F(x)\) väärtus järgmistel piiridel:
\[ F(2) = \frac{1}{3}(2)^3 + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]
\[F(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + 0 = 0 \]
Niisiis,
[ int_0^2 (x^2 + 1) , dx = 14(3) – 0 = 14(3)]
Näidisküsimus 3
Küsimus:
Arvutage funktsiooni f(x) = e^x määratud integraal punktist x = 1 punktini x = 2.
Arutelu:
Leidke funktsiooni \(f(x) = e^x\) algfunktsioon.
Funktsiooni \(e^x\) algfunktsioon on \(e^x\).
Nüüd arvutage integraalide piirväärtuste abil:
[ int_1^2 e^x , dx = F(2) – F(1) ]
Arvutage \(F(x)\) väärtus järgmistel piiridel:
\[ F(2) = e^2 \]
\[ F(1) = e^1 = e \]
Niisiis,
[ int_1^2 e^x , dx = e^2 – e ]
Näidisküsimus 4
Küsimus:
Arvutage funktsiooni f(x) = sin(x) määratud integraal punktist x = 0 punkti x = pi.
Arutelu:
Leidke funktsiooni f(x) = sin(x) algfunktsioon.
Funktsiooni \(\sin(x)\) algfunktsioon on \(-\cos(x)\).
Nüüd arvutage integraalide piirväärtuste abil:
[ int_0^\pi sin(x) \, dx = F(\pi) – F(0) \]
Arvutage \(F(x)\) väärtus järgmistel piiridel:
\[ F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \]
\[ F(0) = - \cos(0) = -1 \]
Niisiis,
[ int_0^\pi sin(x) , dx = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2 ]
Näidisküsimus 5
Küsimus:
Arvutage funktsiooni f(x) = ∫frac{1}{x}) määratud integraal punktist x = 1 punkti e.
Arutelu:
Leidke funktsiooni \(f(x) = \frac{1}{x}\) algfunktsioon.
Fragmendi \(\frac{1}{x}\) algfunktsioon on \(\ln|x|\).
Nüüd arvutage integraalide piirväärtuste abil:
[ int_1^e ∫frac{1}{x}, dx = F(e) – F(1)]
Arvutage \(F(x)\) väärtus järgmistel piiridel:
\[ F(e) = \ln(e) = 1 \]
\[ F(1) = \ln(1) = 0 \]
Niisiis,
[ int_1^e ∫frac{1}{x}, dx = 1 – 0 = 1]
Järeldus
Ülaltoodud näidete abil oleme harjutanud erinevate elementaarfunktsioonide määratud integraalide leidmist. Igal sammul on oluline kõigepealt leida algfunktsioon ja seejärel kasutada integraali piirväärtusi lõppväärtuse leidmiseks.
Määratud integraalid mängivad olulist rolli paljudes õppevaldkondades ja praktilistes rakendustes. Selle kontseptsiooni mõistmine ja erinevate näidetega harjutamine tugevdab oluliselt teie matemaatikaoskusi.
