Näidisküsimused funktsioonide ja mittefunktsioonide kohta: põhimõistete mõistmine
Sissejuhatus
Matemaatikas, eriti algebras, on funktsiooni mõiste üks fundamentaalsemaid ja olulisemaid. Funktsioonid võimaldavad meil väga süstemaatiliselt mõista kahe hulga vahelist seost. Funktsiooni mõistmiseks peame kõigepealt mõistma selle definitsiooni ja omadusi. Seetõttu vaatab see artikkel üle näidisülesanded ning käsitleb funktsioone ja mittefunktsioone. See aitab meil sellest teemast sügavamalt aru saada.
Funktsiooni ja mittefunktsiooni määratlus
Alustame funktsiooni definitsiooni mõistmisest. Matemaatikas saab funktsiooni defineerida kui seost, mis seob domeenihulga iga elemendi täpselt ühe kodomaanhulga elemendiga. Teisisõnu, iga domeenihulga elemendi kohta on kodomaanhulga vastav ainult üks element.
Näited seostest, mis on funktsioonid:
– Hulk A = {1, 2, 3}
– Hulk B = {4, 5, 6}
– Seos R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
Seos R on funktsioon, kuna iga hulga A element on seotud ainult ühe hulga B elemendiga.
Mittefunktsioon on seos, mis ei vasta neile kriteeriumidele, nimelt et algses piirkonnas on vähemalt üks element, mis on seotud tulemuspiirkonnas rohkem kui ühe elemendiga.
Näited seostest, mis ei ole funktsioonid:
– Määrake C = {1, 2, 3}
– Hulk D = {4, 5, 6}
– Seos S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
Seos S ei ole funktsioon, kuna element '1' hulgas C on seotud kahe elemendiga hulgas D (nimelt 4 ja 5).
Näidisküsimused ja arutelu
Funktsioonide ja mittefunktsioonide mõistmise süvendamiseks vaatleme mõningaid näidisküsimusi ja nende arutelusid.
Näidisküsimus 1: Funktsioonide määramine
Kas antud hulga X = {a, b, c, d} ja hulga Y = {1, 2, 3, 4} korral on seos defineeritud funktsioonina?
– R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
Arutelu:
Kontrollime iga elementi hulgas X:
– 'a' on paaris '1'-ga
– 'b' on seotud '2'-ga
– 'c' koos '3'-ga
– 'd' koos '4'-ga
Kuna iga element hulgas X on seotud täpselt ühe elemendiga hulgas Y, on seos R funktsioon.
Näidisküsimus 2: Funktsioonide või mittefunktsioonide tuvastamine
Antud hulk P = {u, v, w} ja hulk Q = {5, 6, 7}. Määrake, kas järgmine seos on funktsioon:
– S = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
Arutelu:
Vaatleme iga elementi hulgas P:
– 'u' koos '5'-ga
– 'v' koos '6'-ga
– 'u' on seotud ka '7'-ga
Kuna hulga P element 'u' on seotud rohkem kui ühe hulga Q elemendiga, siis seos S ei ole funktsioon.
Näidisküsimus 3: Funktsioonide joonistamine graafikutelt
Kui on antud koordinaattasandil oleva seose graafik, määrake, kas see on funktsioon või mitte. Graafik näitab järgmisi punkte:
– (1, 2)
– (2, 4)
– (3, 6)
– (4, 8)
– (5, 10)
Arutelu:
Igal graafiku punktil on paar kujul (x, y), mis näitab, et iga antud x väärtuse jaoks on sellega seotud täpselt üks y väärtus. Kuna iga domeeni element on seotud täpselt ühe elemendiga kodomeenis, on antud graafik funktsiooni graafik.
Näidisülesanne 4: Funktsioonid võrrandi kujul
Määrake, kas võrrand y = x² on funktsioon, kui antud määramispiirkond koosneb ainult reaalarvudest.
Arutelu:
Peame kontrollima, kas iga x-väärtusega määramispiirkonnas on seotud ainult üks y-väärtus. Asendage mõned x-väärtused:
– Kui x = 1, siis y = 1² = 1
– Kui x = 2, siis y = 2² = 4
– Kui x = -1, siis y = (-1)² = 1
On näha, et iga valitud x väärtuse kohta on ainult üks seotud y väärtus. Seega on y = x² funktsioon.
Näidisküsimus 5: Funktsioonid pöördfunktsioonidega
Olgu f(x) funktsioon, mis on defineeritud funktsiooniga f: x → x + 3. Leia selle funktsiooni pöördfunktsioon, kui see eksisteerib.
Arutelu:
Kui f: x → x + 3, siis peame leidma funktsiooni g nii, et f(g(x)) = x ja g(f(x)) = x. Alustades võrrandist:
– y = x + 3
Pöördfunktsiooni leidmiseks eraldame x:
– x = y – 3
Seega on pöördfunktsioon g(y) = y – 3.
Seega funktsiooni f(x) = x + 3 pöördfunktsioon on f⁻¹(x) = x – 3.
Järeldus
Ülaltoodud arutelust oleme näinud mitmeid näiteid funktsioonide ja mittefunktsioonidega seotud probleemidest koos nende selgitustega. Funktsiooni mõiste õpetab meile, et iga domeenihulga element peab olema seotud täpselt ühe sihtdomeenihulga elemendiga. Funktsioonide tuvastamine graafikutelt ja võrranditelt on samuti kasulik tehnika seose olemuse määramiseks. Seda tüüpi probleemide harjutamise abil saame paremini tuttavaks ja mõistame funktsioonide ja mittefunktsioonide põhimõisteid, mis on algebras ja muus matemaatilises analüüsis olulised alused.
