Näidisküsimused ja tõenäosusjaotuse arutelu
Tõenäosusjaotus on üks statistika ja tõenäosusteooria põhimõisteid. Seda kasutatakse juhusliku arvu erinevate väärtuste esinemise tõenäosuse mõistmiseks. Tõenäosusjaotused võivad esineda mitmel kujul, olenevalt analüüsitavate andmete olemusest. Kaks kõige levinumat tõenäosusjaotuse tüüpi on diskreetne ja pidev. Selles artiklis vaatame üle mitu näidisülesannet ja arutame tõenäosusjaotusi, et aidata meil seda teemat paremini mõista.
Diskreetne jaotus
Diskreetne jaotus on jaotus, mis arvutab diskreetse juhusliku suuruse tõenäosust, st muutuja tõenäosust, mis saab võtta ainult teatud väärtusi. Diskreetsete jaotuste tuntud näited on binoomjaotus ja Poissoni jaotus.
Näide 1: Binoomjaotus
Binoomjaotus kirjeldab Bernoulli katsete seeria õnnestumiste arvu. Igal Bernoulli katsel on kaks tulemust: õnnestumine või ebaõnnestumine. Edu tõenäosus jääb kogu katse vältel konstantseks.
Küsimus:
Ravimifirma testib uut ravimit 10 patsiendil. Tõenäosus, et ravim toimib ükskõik millisel patsiendil, on 0.7. Arvutage tõenäosus, et ravim toimib täpselt 7 patsiendil 10-st.
Arutelu:
Juhuslik suurus X järgib binoomjaotust, kus n = 10 ja p = 0.7. Binoomne tõenäosusfunktsioon on:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
(k = 7) puhul:
\[P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Binoomkoefitsiendi \(\binom{10}{7}\) arvutamine:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Tõenäosusväärtuste arvutamine:
\[P(X = 7) = 120 korda (0.7)^7 korda (0.3)^3 \]
\[P(X = 7) \um 120 \x 0.0823543 \x 0.027 \]
\[P(X = 7) \um 0.231 \]
Seega on tõenäosus, et ravim toimib täpselt 7 patsiendil 10-st, umbes 0.231 ehk 23.1%.
Näide 2: Poissoni jaotus
Poissoni jaotust kasutatakse haruldaste sündmuste esinemissageduse modelleerimiseks antud aja- või ruumiintervallis.
Küsimus:
Poes käib keskmiselt 4 klienti tunnis. Milline on tõenäosus, et poes käib ühe tunni jooksul täpselt 5 klienti?
Arutelu:
Juhuslik suurus X järgib Poissoni jaotust parameetriga lambda = 4. Poissoni tõenäosusmassi funktsioon on:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
(k = 5) puhul:
\[P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Krahv:
\[P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[P(X = 5) \umx \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[P(X = 5) \um 0.156 \]
Seega on tõenäosus, et poes käib ühe tunni jooksul täpselt 5 klienti, umbes 0.156 ehk 15.6%.
Pidev jaotus
Pidevaid jaotusi kasutatakse siis, kui mõõdetav juhuslik suurus võib teatud vahemikus võtta mis tahes väärtuse. Pidevate jaotuste tuntud näited on normaaljaotus ja eksponentsiaaljaotus.
Näide 3: Normaaljaotus
Normaaljaotus, mida sageli nimetatakse Gaussi jaotuseks, on jaotus, mida tavaliselt kasutatakse erinevates valdkondades, sealhulgas teaduses, inseneriteaduses ja majanduses.
Küsimus:
Linnas elavate täiskasvanud meeste pikkused on normaaljaotusega keskmisega 170 cm ja standardhälbega 10 cm. Milline on tõenäosus, et juhuslikult valitud mehe pikkus on 160 cm kuni 180 cm?
Arutelu:
Peame arvutama z-skoori 160 cm ja 180 cm jaoks. Z-skoor on defineeritud järgmiselt:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Kui \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160–170}{10} = -1 \]
Kui \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180–170}{10} = 1 \]
Nüüd peame vaatama z-tabelis tõenäosusväärtusi vahemikus -1 kuni 1. Väärtus vahemikus z = -1 kuni z = 1 on ligikaudu 0.6826.
Seega on tõenäosus, et juhuslikult valitud mees on 160–180 cm pikk, ligikaudu 0.6826 ehk 68.26%.
Näide 4: Eksponentsiaalne jaotus
Eksponentsiaaljaotust kasutatakse Poissoni protsessi sündmuste vahelise aja modelleerimiseks.
Küsimus:
Keskmine aeg kahe kliendi saabumise vahel poes on 15 minutit. Milline on tõenäosus, et kahe kliendi saabumise vaheline aeg on vähem kui 10 minutit?
Arutelu:
Eksponentjaotuse parameeter \(\lambda\) on keskmise pöördväärtus (\(\mu\)). Keskmise väärtusega 15 minutit:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Eksponentsiaalse kumulatiivse jaotuse funktsioon on:
\[P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambdax} \]
Kui x = 10:
\[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 × 10} \]
\[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[P(X ≤ 10) \um 1 – 0.5134 \]
\[P(X ≤ 10) \um 0.4866 \]
Seega on tõenäosus, et kahe kliendi saabumise vaheline aeg on alla 10 minuti, umbes 0.4866 ehk 48.66%.
Järeldus
Tõenäosusjaotused, nii diskreetsed kui ka pidevad, on väga kasulikud mõisted juhuslike muutujate käitumise modelleerimiseks ja mõistmiseks. Binoom- ja Poissoni jaotusi kasutatakse sageli diskreetsete muutujate puhul, samas kui normaal- ja eksponentsiaaljaotused on pidevate jaotuste näited.
Loodame, et ülaltoodud näidete abil olete paremini aru saanud, kuidas tõenäosusi tõenäosusjaotustes arvutada ja tõlgendada. Järjepideva harjutamise abil paraneb teie võime tõenäosusjaotustest aru saada ning seda saab rakendada erinevates valdkondades.
