Näidisküsimused lõpmatute geomeetriliste ridade kohta
Lõpmatu geomeetriline rida on rida, mis sisaldab lõpmatut arvu liikmeid geomeetrilises progressioonis. Nende ridade summa (või piirväärtuse) arvutamiseks on vajalikud spetsiifilised nõuded. Selles artiklis käsitleme lõpmatu geomeetrilise rea põhimõistet, selle konstrueerimise nõudeid ning mitmeid näidisülesandeid ja nende lahendusi.
Lõpmatu geomeetrilise rea põhikontseptsioon
Põhimõtteliselt on geomeetriline rida arvude jada, milles iga järgnev liige saadakse eelmise liikme korrutamisel konstandiga, mida nimetatakse ühissuhteks (r). Oletame, et meil on geomeetriline rida:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
Lõpmatu geomeetrilise rea puhul vaatleme rea kõigi liikmete summat. Selle rea summa on defineeritud järgmiselt:
\[S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \ldots \]
Lõpmatu geomeetrilise rea summa koondub (omab kindlat summat) siis ja ainult siis, kui suhe η ( |r| < 1). Kui η ( |r| ≤ 1), siis rida hajub ja sellel ei ole kindlat summat (läheb lõpmatusse).
Kui \( |r| < 1 \), siis lõpmatu geomeetrilise rea summa S saab defineerida järgmiselt: \[ S = \frac{a}{1-r} \], kus: - \( S \) on rea summa, - \( a \) on esimene liige, - \( r \) on suhe. Näidisküsimused ja arutelu Näidisküsimus 1 Küsimus: Leidke järgmise rea lõpmatu geomeetrilise rea summa: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Arutelu: Tuvastagem rea olulised elemendid: Esimene liige \( a = 3 \) Suhte \( r \) saab leida teise liikme jagamisel esimese liikmega, st: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Kuna \( |r| = 0.5 < 1 \), siis see rida koondub ja me saame arvutada lõpmatu rea summa. Kasutage lõpmatu geomeetrilise rea summa valemit: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Seega lõpmatu geomeetrilise rea summa on 6. Näidisküsimus 2 Küsimus: Leidke lõpmatu geomeetrilise rea summa, mille esimene liige on 8 ja suhe \( r = -\frac{1}{3} \). Arutelu: Esimene liige \( a = 8 \) Suhe \( r = -\frac{1}{3} \) Kuna \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), siis see rida koondub ja me saame arvutada lõpmatu rea summa. Kasutage lõpmatu geomeetrilise rea summa valemit: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Seega lõpmatu geomeetrilise rea summa on 6. Näidisküsimus 3 Küsimus: Kas järgmisel real on lõpmatu summa? Kui jah, siis leia summa. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Arutelu: Esimene liige \( a = 5 \) Suhe \( r \) leitakse teise liikme jagamisel esimese liikmega, st: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Kuna \( |r| = 0.5 < 1 \), siis see rida koondub ja me saame arvutada lõpmatu rea summa. Kasutage lõpmatu geomeetrilise rea summa arvutamiseks valemit: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Seega on lõpmatu geomeetrilise rea summa 10. Näidisküsimus 4 Küsimus: Määrake, kas järgmine rida on koonduv või lahknev: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Arutelu: Esimene liige \(a = 4 \) Suhte \(r \) saab leida teise liikme jagamisel esimese liikmega, st: \[r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Kuna \(|r| = 1.5 > 1 \), on see rida lahknev ja sellel pole kindlat summat.Seega on seeria lahknev.
Näidisküsimus 5
Küsimus: Oletame, et teil on järgmine lõpmatu rida:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots \]
Määrake seeria summa.
Arutelu:
Esimene liige \(a = \frac{1}{2} \)
Suhte \(r \) saab leida teise liikme jagamisel esimese liikmega, st:
\[ r = \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Kuna \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), siis see rida koondub ja me saame arvutada lõpmatu rea summa. Lõpmatu geomeetrilise rea summa arvutamiseks kasutage valemit: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Seega lõpmatu geomeetrilise rea summa on 1. Järeldus Lõpmatu geomeetriline rida on oluline matemaatiline mõiste, millel on laialdased rakendused erinevates valdkondades. Lõpmatu geomeetrilise rea summa määramiseks peame tagama, et suhe \( |r| < 1 \). Seega saab rea summa arvutada lihtsa ja arusaadava valemi abil. Ülaltoodud näidisülesannetest näeme, et see tehnika muudab lõpmatute geomeetriliste ridadega seotud ülesannete lahendamise väga lihtsaks.
