Näidisküsimused ringi definitsiooni kohta
Ring on üks põhilisi geomeetrilisi kujundeid, millega me igapäevaelus sageli kokku puutume. Matemaatikas on ringidel unikaalsed definitsioonid ja omadused. See artikkel uurib ringi ja sellega seotud elementide definitsiooni põhjalikult ning pakub mitmeid näidisülesandeid ja nende lahendusi, et süvendada meie arusaamist ringidest.
Ringi definitsioon
Ring on kõigi tasapinna punktide hulk, mis asuvad võrdsel kaugusel fikseeritud punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks. Ringi keskpunkti ja mis tahes punkti vahelist kaugust nimetatakse ringi raadiuseks. Ringi, mille keskpunkt on punkt \(h, k)\) ja raadius \(r\), üldvõrrand on antud järgmise valemiga:
[(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2]
Seal:
– \(h, k)\) on ringi keskpunkti koordinaadid,
– \(r\) on ringi raadius,
– \(x\) ja \(y\) on ringi mis tahes punkti koordinaadid.
Ringi elemendid
Enne näidisküsimuste juurde asumist on hea teada mõningaid ringi olulisi elemente:
1. Ringi keskpunkt: Fikseeritud punkt, mis on kõigi üksteisest võrdsel kaugusel asuvate punktide keskpunkt.
2. Raadius (r): Ringi keskpunkti ja ringi mis tahes punkti vaheline kaugus.
3. Läbimõõt (d): Sirge, mis läbib ringi keskpunkti ja ühendab ringi kahte punkti, on pikkusega kaks korda suurem kui raadius (\(d = 2r\)).
4. Kaar: Ringi ümbermõõdu osa, mis asub ringi kahe punkti vahel.
5. Koordin: Sirge, mis ühendab ringjoonel kahte punkti, kuid ei läbi keskpunkti.
6. Apoteemi: lühim kaugus ringi keskpunktist akordini.
7. Kesknurk: Nurk, mille moodustavad ringi keskpunktist kahe raadiuse nurk.
8. Ümbermõõtnurk: nurk, mille moodustavad kaks ringjoone ühes punktis lõikuvat lõuendit.
Näidisküsimused ja arutelud
Näidisküsimus 1
Küsimus: Antud on ring, mille keskpunkt on punktis \(3, 4)\) ja mis läbib punkti \(7, 4)\). Määrake ringi võrrand.
Arutelu:
Ringi võrrandi leidmiseks peame kõigepealt teadma selle raadiust. Kuna ring läbib punkti \(7, 4)\), saame arvutada selle punkti ja ringi keskpunkti vahelise kauguse, mis on \(3, 4)\).
\[
r = ∫qrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
\]
\[
r = \sqrt{(7–3)^2 + (4–4)^2}
\]
\[
r = ∫qrt{4^2 + 0^2}
\]
\[
r = 4
\]
Ringi, mille keskpunkt on \(3, 4)\) ja raadius 4, võrrand on:
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 4^2
\]
\[
(x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Näidisküsimus 2
Küsimus: Määrake 5 cm raadiusega ringi pindala ja ümbermõõt.
Arutelu:
– Ringi pindala (A) saab arvutada valemiga \(A = \pi r^2\),
\[
A = ∫π × 5^2
\]
\[
A = 25\pi \cm}^2
\]
Kui \(\pi \umbes 3.14\), siis:
\[
A \umbes 25 \x 3.14 = 78.5 \text{ cm}^2
\]
– Ringi ümbermõõtu (C) saab arvutada valemiga (C = 2\pi r),
\[
C = 2 × π × 5
\]
\[
C = 10\pi \cm}
\]
Kui \(\pi \umbes 3.14\), siis:
\[
C \umbes 10 \x 3.14 = 31.4 \text{ cm}
\]
Näidisküsimus 3
Küsimus: Ringi keskpunkt on punkt O ja raadius 7 cm. Kui ringile on tõmmatud 10 cm pikkune koor, siis määra lühim kaugus keskpunktist O selle koordinaadini.
Arutelu:
Keskpunktist akordini ulatuva lühima vahemaa leidmiseks kasutame apoteemi mõistet, mis on lühim vahemaa keskpunktist akordini. 7 cm raadiuse ja 10 cm akordipikkusega saame sellele probleemile läheneda moodustunud täisnurkse kolmnurga abil.
Kui akordi keskpunkt on punkt C, siis OC on otsitav apoteem. Kui A ja B on akordi otspunktid, siis AC ja BC on mõlemad 5 cm kaugusel (pool 10 cm-st).
Kolmnurgast OAC, mis on punktis C täisnurkne, kasutame Pythagorase teoreemi:
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]
\[
7^2 = OC^2 + 5^2
\]
\[
49 = OC^2 + 25
\]
\[
OC^2 = 49–25
\]
\[
OC^2 = 24
\]
\[
OC = ∫qrt{24} = 2∫qrt{6} cm}
\]
Näidisküsimus 4
Küsimus: Antud on ring võrrandiga \(x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0\). Määrake ringi keskpunkt ja raadius.
Arutelu:
Keskpunkti ja raadiuse leidmiseks teisendame võrrandi standardkujule:
\[
x^2 + y^2 + 6x – 8y + 9 = 0
\]
Lahendame ruutvormi täiustamise teel:
\[
x^2 + 6x + y^2 – 8y = -9
\]
x-liikmele (6/2)\(^2\) liitmine ja lahutamine ning y-liikmele (8/2)\(^2\) liitmine ja lahutamine:
\[
x^2 + 6x + 9 + y^2 – 8y + 16 = -9 + 9 + 16
\]
\[
(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16
\]
Võrrandist \(x + 3)^2 + (y – 4)^2 = 16\) leiame, et ringi keskpunkt on \(-3, 4)\) ja raadius on \(r = \sqrt{16} = 4\).
Järeldus
Ring on geomeetrias fundamentaalne ja oluline mõiste. Ülaltoodud näidisülesannete ja arutelude kaudu saame sügavama arusaama ringide erinevatest aspektidest ja omadustest. Selle teema valdamine lihtsustab keerukamate geomeetriliste probleemide mõistmist ja lahendamist.
