Näidisküsimused aritmeetiliste jadade kohta
Aritmeetilised jadad on matemaatika põhimõiste, mis esineb sageli erinevates eksamites ja reaalsetes rakendustes. Aritmeetiline jada on arvude jada, mille iga kahe järjestikuse liikme vahe on konstantne. Selles artiklis uurime aritmeetiliste jadade mõistet põhjalikumalt mitme näidisülesande ja põhjalike selgituste abil.
Definitsioonid ja tähistused
Enne näidisülesannete juurde asumist on oluline mõista aritmeetilistes jadades sageli kasutatavat tähistust. Kui \(a\) on esimene liige ja \(d\) on ühisvahe (konstantne vahe), siis saab aritmeetilise jada kirjutada järgmiselt:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
Selle jada n-nda liikme (Un) saab formuleerida järgmiselt:
\[U_n = a + (n-1)d \]
Järgnevalt on toodud mitu näidisküsimust ja nende arutelud aritmeetiliste jadade mõistmise hõlbustamiseks.
Näidisküsimus 1
Küsimus:
Antud on aritmeetiline jada, mille esimene liige on a = 5 ja ühisosa vahe on d = 3. Määrake jada kümnes liige.
Arutelu:
Kasutades n-liikme jaoks üldist valemit, nimelt \(U_n = a + (n-1)d \):
\[U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[U_{10} = 5 + 27 \]
\[U_{10} = 32 \]
Seega on jada 10. liige 32.
Näidisküsimus 2
Küsimus:
Antud on aritmeetiline jada, mille viies liige on 20 ja kaheksas liige on 35. Määrake jada esimene liige \(a\) ja ühiste liikmete vahe \(d\).
Arutelu:
Küsimusest lähtuvalt teame:
\[U_5 = a + 4d = 20 \]
\[U_8 = a + 7d = 35 \]
Lahuta mõlemad võrrandid, et elimineerida \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35–20 \]
\[3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Nüüd asendame d = 5, et leida a:
\[a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Seega on jada esimene liige 0 ja vahe on 5.
Näidisküsimus 3
Küsimus:
Kui suur on aritmeetilise jada esimese 20 liikme summa, mille esimene liige on \(a = 2\) ja nende vahe on \(d = 4\)?
Arutelu:
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa saab arvutada järgmise valemi abil:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)]
Selle rea jaoks:
\[S_{20} = \frac{20}{2} \left(2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \right) \]
\[S_{20} = 10 \vasak(4 + 76 \parem) \]
\[S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Seega on jada esimese 20 liikme summa 800.
Näidisküsimus 4
Küsimus:
Aritmeetilise jada kolmas liige on 15 ja seitsmes liige on 27. Leia jada 12. liige.
Arutelu:
Esmalt peame leidma väärtused \(a\) ja \(d\). Küsimusest saame teada:
\[U_3 = a + 2d = 15 \]
\[U_7 = a + 6d = 27 \]
Lahuta mõlemad võrrandid, et elimineerida \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27–15 \]
\[4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Nüüd asendame d = 3, et leida a:
\[a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
12. termini leidmiseks kasutage n-nda termini valemit:
\[U_{12} = a + 11d \]
\[U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[U_{12} = 9 + 33 \]
\[U_{12} = 42 \]
Seega on jada 12. liige 42.
Näidisküsimus 5
Küsimus:
Aritmeetilise jada, mille esimene liige on a ja ühine vahe on d, esimese kümne liikme summa on 55. Kui d = 1, siis määrake esimene liige a.
Arutelu:
Arvestades d = 1 ja S_{10} = 55. Kasutage esimeste liikmete summa arvutamiseks valemit:
\[S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) \]
Kui n = 10:
\[S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[5 (2a + 9) = 55 \]
\[2a + 9 = 11 \]
\[2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Seega on jada esimene liige 1.
Järeldus
Aritmeetilised jadad on matemaatika põhimõiste, mis on äärmiselt kasulik erinevates valdkondades. Selles artiklis oleme käsitlenud mitmeid aritmeetiliste jadade ja nende lahendite näiteid. Aritmeetilise jada valemite ja põhiomaduste hea mõistmine on väga kasulik selle teemaga seotud erinevat tüüpi probleemide lahendamisel.
Selliste näidete harjutamise abil loodetakse, et muutute aritmeetiliste jadadega seotud ülesannete lahendamisel osavamaks ja kiiremaks.
