Movimiento rotacional: problemas y soluciones

Movimiento rotacional: problemas y soluciones

Torque

1. Una viga de 140 cm de longitud. Sobre ella actúan tres fuerzas: F₁ ₌ 20 N, F₂ ₌ 10 N y F₃ = 40 N, _con la dirección y posición que se muestran en la figura. ¿Cuál es el torque que provoca que la viga gire alrededor de su centro de masa?

Conocido :

El centro de masas se encuentra en el centro del haz.

Longitud de la viga (l) = 140 cm = 1.4 metros

Fuerza 1 (F₁) = 20 N, el brazo de palanca 1 (l₁) = 70 cm = 0.7 metros

Fuerza 2 (F₂) = 10 N, el brazo de palanca 2 (l₂) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metros

Fuerza 3 (F₃) = 40 N, el brazo de palanca 3 (l₃) = 70 cm = 0.7 metros

Buscado : La magnitud del par

solución:

El par 1 hace girar la viga en el sentido de las agujas del reloj, por lo que se le asigna un signo negativo al par 1.

τ₁ = F₁ l₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

El par 2 hace girar la viga en sentido antihorario, asignándole así un signo positivo al par 2.

τ₂ = F₂ l₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

El par 3 hace girar la viga en el sentido de las agujas del reloj, por lo que se le asigna un signo positivo al par 3.

τ₃ = F₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

El par neto:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

La magnitud del par es de 39 N·m. La dirección de rotación de la viga es en sentido horario, por lo que se le asigna un signo negativo.

2. ¿Cuál es el torque neto que actúa sobre la viga en el eje de rotación en el punto D? (sin 53^o 0.8 =)

Conocido :

El eje de rotación en el punto D

F₁ = 10 N y l₁ = r₁ sen θ = (40 cm)(sen 53^o) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 metros

F₂ = 10√2 N y l₂ = r₂ sen θ = (20 cm)(sen 45^o) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 metros

F₃ = 20 N y l₃ = r₁ sen θ = (10 cm)(sen 90^o) = (0.1 m)(1) = 0.1 metros

Buscado : El par neto

solución:

τ₁ = F₁ l₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(El par 1 hace girar la viga en sentido antihorario, por lo que le asignamos un signo positivo al par 1).

τ₂ = F₂ l₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(El par 2 hace girar la viga en el sentido de las agujas del reloj, por lo que le asignamos un signo negativo al par 2).

τ₃ = F₂ l₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(El par 3 hace girar la viga en sentido antihorario, por lo que le asignamos un signo positivo al par 3).

El par neto:

Στ = τ₁ – t₁ + τ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. ¿Cuál es el torque neto si el eje de rotación está en el punto D? (sin 53^o 0.8 =)

Conocido :

El eje de rotación en el punto D.

Distancia entre F₁ y el eje de rotación (r_AD) = 40 cm = 0.4 m

Distancia entre F₂ y el eje de rotación (r_BD) = 20 cm = 0.2 m

Distancia entre F₃ y el eje de rotación (r_CD) = 10 cm = 0.1 m

F₁ = 10 Newton

F ₂ = 10√2 Newton

F3 = 20 _Newtons

Sen 53 ^° = 0.8

Buscado : El par neto

solución:

El momento de la fuerza 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sen 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(El par 1 hace girar la viga en sentido antihorario, por lo que le asignamos un signo positivo al par 1).

El momento de la fuerza 2

F.₂ = (F₂)(r_BD pecado 45^o) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(El par 2 hace girar la viga en el sentido de las agujas del reloj, por lo que le asignamos un signo negativo al par 2).

El momento de la fuerza 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sen 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(El par 2 hace girar la viga en sentido antihorario, por lo que le asignamos un signo positivo al par 3).

El par neto:

Στ = Στ₁ + Στ₂ + Στ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metros

El momento de inercia

4. Longitud del cable = 12 m, l₁ = 4 m. Ignore la masa del cable. ¿Cuál es la momento de inercia del sistema.

Conocido :

Misa de A (m_A) = 0.2 kg

Masa de B (m_B) = 0.6 kg

Distancia entre A y el eje de rotación (r_A) = 4 metros

Distancia entre B y el eje de rotación (r_B) = 12 – 4 = 8 metros

Buscado : El momento de inercia del sistema

solución:

El momento de inercia de A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

El momento de inercia de B

I_B = (metro_B)(r_B²) = (0.6)(8)² = (0.6)(64) = 38.4 kg m²

El momento de inercia del sistema:

Yo = Yo _A + Yo _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Dinámica rotacional

5. Se aplica una fuerza de 6 N a una cuerda enrollada alrededor de una polea de masa M = 5 kg y radio R = 20 cm. ¿Cuál es la aceleración angular de la polea? La polea es un cilindro sólido uniforme.

Conocido :

Fuerza (F) = 6 Newton

Masa (M) = 5 kg

Radio (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Buscado : Aceleración angular (A)

solución:

El momento de la fuerza:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 metros) = 1.2 N·m

El momento de inercia de un cilindro sólido:

I = 1/2 MR²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m)²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m²)

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m².

La aceleración angular:

τ = yo α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Un bloque de masa = 4 kg cuelga de una cuerda enrollada alrededor de una polea de masa = 8 kg y radio R = 10 cm. La aceleración debida a la gravedad es de 10 m/s².^-2 ¿Cuál es la aceleración lineal del bloque? La polea es un cilindro sólido uniforme.

Conocido :

Masa de la polea (m) = 8 kg

Radio de la polea (r) = 10 cm = 0.1 m

Masa del bloque (m) = 4 kg

Aceleración debida a la gravedad (g) = 10 m/ ^s²

Peso (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newtons

Buscado : La aceleración de caída libre del bloque

solución:

El momento de inercia del cilindro sólido:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

El momento de la fuerza:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

La aceleración angular:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

La aceleración lineal:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Un bloque con masa m cuelga de una cuerda enrollada alrededor de una polea. Si el caida libre La aceleración del bloque es de am/s²¿Cuál es el momento de inercia de la polea?

Conocido :

peso = w = mg

Brazo de palanca = R

La aceleración angular = α

La aceleración de caída libre del bloque = a m/s^-2

Querido: El momento de inercia de la polea (I)

solución:

La relación entre la aceleración lineal y la aceleración angular:

a = R α

α = a / R

El momento de inercia:

τ = yo α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

El momento angular

8. Una partícula de 0.2 gramos se mueve en círculo a una velocidad constante de 10 m/s. El radio del círculo es de 3 cm. ¿Cuál es el momento angular de la partícula?

Conocido :

Masa de partículas (m) = 0.2 gramos = 2 x 10^-4 kg

Velocidad angular (ω) = 10 rad/s^-1

Radio (r) = 3 cm = 3 x 10^-2 metros

Buscado : El momento angular de la partícula

solución:

La ecuación del momento angular:

L = I ω

I = momento angular, I = momento de inercia, ω = velocidad angular

El momento de inercia (para partículas):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

El momento angular:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. ¿Qué es el movimiento de rotación?
   • RespuestaEl movimiento de rotación se refiere al desplazamiento de un objeto alrededor de un eje fijo. Es el tipo de movimiento en el que cada punto del objeto se mueve en círculo alrededor del eje.
2. ¿Cómo se relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular en el movimiento de rotación?
   • Respuesta: Velocidad lineal ($v$) de un punto en un objeto giratorio es directamente proporcional a su distancia ($r$) desde el eje de rotación y la velocidad angular ($\omega$) del objeto. La relación viene dada por $v=r\cdot \omega$.
3. ¿Qué es el momento de inercia y cómo se relaciona con el movimiento de rotación?
   • RespuestaEl momento de inercia es el análogo rotacional de la masa en movimiento lineal. Mide la resistencia de un objeto a los cambios en su estado de rotación. El momento de inercia depende tanto de la masa del objeto como de su distribución con respecto al eje de rotación.
4. ¿Cómo se aplica la primera ley del movimiento de Newton al movimiento de rotación?
   • RespuestaAsí como un objeto en movimiento lineal permanece en movimiento a menos que actúe sobre él una fuerza externa, un objeto en movimiento rotacional permanecerá en ese estado a menos que actúe sobre él un par externo.
5. ¿Cuál es la importancia del radio de giro?
   • RespuestaEl radio de giro proporciona una medida de la distribución de la masa de un objeto con respecto a su eje de rotación. Básicamente, describe a qué distancia del eje debería concentrarse toda la masa del objeto para que su momento de inercia sea el mismo que el de la distribución original.
6. ¿Qué es el momento angular y cómo se conserva?
   • RespuestaEl momento angular es el equivalente rotacional del momento lineal. Es el producto del momento de inercia de un objeto y su velocidad angular. En un sistema cerrado, el momento angular total permanece constante a menos que actúe sobre él un torque externo, lo que pone de manifiesto la conservación del momento angular.
7. ¿Cómo influye el torque en el movimiento de rotación?
   • RespuestaEl torque es el equivalente rotacional de la fuerza. Provoca cambios en el movimiento de rotación de un objeto. La relación se describe mediante la segunda ley de Newton para la rotación: $\tau =I\cdot \alpha$, donde $\tau$ es el par motor, $I$ es el momento de inercia, y $\alpha$ es la aceleración angular.
8. ¿En qué se diferencia el centro de masa del centro de rotación?
   • RespuestaSi bien pueden coincidir, el centro de masa es el punto donde se puede suponer que se concentra toda la masa de un objeto a efectos de cálculos en movimiento lineal, mientras que el centro de rotación es el punto (o eje) alrededor del cual gira un objeto.
9. ¿Cuál es el papel de la fuerza centrípeta en el movimiento de rotación?
   • RespuestaLa fuerza centrípeta es la fuerza neta que actúa sobre un objeto que se mueve en una trayectoria circular, dirigida hacia el centro de rotación. Es la responsable de mantener el objeto en su trayectoria curva e impedir que se mueva en línea recta debido a la inercia.

10. ¿Cómo se relaciona la energía cinética rotacional con el momento de inercia y la velocidad angular?

    • RespuestaLa energía cinética rotacional es la energía debida a la rotación de un objeto alrededor de un eje. Se expresa mediante la fórmula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², donde $I$ es el momento de inercia y $\omega$ es la velocidad angular.