Artículo sobre el movimiento de proyectiles y ejemplos de problemas con soluciones.
Velocidad inicial (vo) y el componente de velocidad inicial (vox y Voy)
Un objeto cuyos movimientos parabólicos siempre tienen una velocidad inicial. Dado que el movimiento parabólico es una combinación de movimientos en las direcciones horizontal y vertical, la velocidad inicial también tiene componentes horizontales y verticales.
Si el objeto se mueve parabólicamente como en las figuras 1 y 3, entonces la velocidad inicial en la dirección horizontal (v ox ) y la velocidad inicial en la dirección vertical (v oy ) se calculan utilizando la ecuación:
v ox = v o cos θ
v oy = v o sin θ
Si el objeto se mueve parabólicamente como en la figura 2, entonces v o = v ox (v oy = 0).
Velocidad (vx y Vy) y Posición (x e y)
La velocidad en las direcciones horizontal y vertical en un intervalo de tiempo determinado se calcula mediante la siguiente ecuación:
v x = v ox = constante ( movimiento lineal uniforme )
v y = v oy + gt o v y 2 = v oy 2 + 2 gh (movimiento de caída libre)
La posición de los objetos en las direcciones horizontal (x) y vertical (y) en un intervalo de tiempo determinado se calcula mediante la siguiente ecuación:
x = v ox t
y = v oy t + 1⁄2 gt 2
Resultante de la velocidad (v) y la posición (h)
La velocidad resultante en un intervalo de tiempo determinado se calcula mediante la siguiente ecuación:
La dirección de los objetos en un intervalo de tiempo determinado se calcula mediante la siguiente ecuación:
Notas:
1. La componente horizontal del movimiento parabólico se considera como un movimiento lineal uniforme, por lo que vox = vx es siempre constante.
2. La componente vertical del movimiento parabólico se considera como el movimiento de caída libre, por lo que si el objeto se mueve parabólicamente, como en las Figuras 1 y 3, la componente vertical de la velocidad del objeto en la altura máxima es cero (v y = 0). Si lanzas una canica verticalmente hacia arriba en la altura máxima, el objeto permanece en reposo por un instante (v y = 0) antes de descender. Por lo tanto, la velocidad del objeto que se mueve parabólicamente en la altura máxima es v x = v ox.
3. Si el objeto se mueve parabólicamente como se muestra en la Figura 2, la componente vertical del movimiento parabólico se considera como un movimiento de caída libre. Si el objeto se mueve parabólicamente como en las Figuras 1 y 3, entonces la componente vertical del movimiento parabólico se considera como un movimiento vertical ascendente.
Ejemplos de problemas:
1. Se dispara una bala en dirección horizontal con una velocidad inicial de 20 m/s. Si el arma está a 5 metros del suelo, determine:
(a) tiempo en el aire 
b) la altura máxima
(c) la distancia horizontal
d) la velocidad de la bala cuando impacta contra el suelo
La Solución:
El movimiento en la dirección horizontal se analiza como un movimiento lineal uniforme, mientras que el movimiento en la dirección vertical se analiza como un movimiento de caída libre.
Conocido:
v ox = 20 m/s, v oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ s²
a) Tiempo en el aire
La solución consiste en determinar el intervalo de tiempo (t) en el movimiento de caída libre.
Datos conocidos: v oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ s²
Se busca: t
b) La altura máxima
Altura máxima = h = 5 metros.
c) Distancia horizontal (d)
La solución es como determinar la distancia en el movimiento lineal uniforme.
Datos conocidos: v ox = 20 m/s, t = 1 segundo
Se busca: d
d = vt
d = (20 m/s)(1 s) = 20 m
d) Velocidad cuando la bala impacta contra el suelo
v tx = v ox = 20 m/s
v ty = ?
Primero, calculamos la velocidad final en la dirección vertical (vty). La solución es similar a determinar la velocidad final de un movimiento de caída libre.
Datos conocidos: v oy = 0, g = 9.8 m/s² , t = 1 s
Se busca: v ty
v t = v o + gt —> vo = 0
v t = gt
v t = (9.8 m/s² ) (1 s)
v t = 9.8 m/s
La velocidad de una bala al impactar contra el suelo:
Dirección de la bala:
Debido a que v tx está en la dirección del eje x positivo (hacia la derecha) y v ty está en la dirección del eje y negativo (hacia abajo),
La dirección de la bala cuando impacta contra el suelo es de -26.1 ° con respecto al eje x positivo (véase la figura a continuación).
2. El cañón disparó una bala con un ángulo de 30 ° respecto a la horizontal y una velocidad de 60 m/s. Determinar:
(a) la altura máxima
b) la velocidad de la bala a la altura máxima
(c) tiempo en el aire
(d) la distancia horizontal
(e) la velocidad de la bala al impactar contra el suelo. Supongamos que el suelo es plano. 🙂
La Solución:
El movimiento en la dirección horizontal se analiza como un movimiento lineal uniforme, mientras que el movimiento en la dirección vertical se analiza como un movimiento vertical ascendente.
Datos conocidos: v o = 60 m/s, theta = 30 o.
Basándonos en los datos conocidos, primero calculamos las componentes vertical (v oy ) y horizontal (v ox ) de la velocidad inicial (v o ).
a) La altura máxima (h)
La solución es similar a determinar la altura máxima en el movimiento vertical ascendente.
Conocido:
v ox = v o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s
v oy = v o sen θ = (60)(sen 30) = (60)(0.5) = 30 m/s
a) Altura máxima (h)
La solución es similar a determinar la altura máxima en el movimiento vertical ascendente.
Conocido:
v oy = 30 m/s (esta es la velocidad inicial de la bala)
v ty = 0 m/s (A la altura máxima, la velocidad vertical de la bala es igual a 0 m/s. Esta es la velocidad final).
g = – 9.8 m/ s²
Se busca: h
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 30 2 + 2 (-9.8) h
0 = 900 – 19.6 h
900 = 19.6 h
h = 900 / 19.6
h = 45.9 metros
La altura máxima alcanzada por la bala es de 45.9 metros.
b) La velocidad a la altura máxima
A la altura máxima, la velocidad en la dirección vertical es de 0 m/s. A la altitud máxima, solo existe velocidad en la dirección horizontal. La velocidad en la dirección horizontal a la altura máxima es igual a la velocidad inicial en la dirección horizontal, que es de 52.2 m/s. La dirección de la velocidad en la dirección horizontal es siempre constante, es decir, en la dirección del eje x positivo (si el movimiento del objeto se describe en el diagrama anterior).
c) Tiempo en el aire
La solución es como determinar el intervalo de tiempo (t) en la discusión del movimiento vertical ascendente.
Conocido:
v oy = 30 m/s (esta es la velocidad inicial de la bala en dirección vertical)
g = – 9.8 m/ s²
h = 0 m (cuando la bala regresa al suelo, el desplazamiento de la bala en la dirección vertical = 0 m)
Se busca: t
h = v o t + ½ gt 2
0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ s² ) t²
0 = (30) t – 4.9 t 2
(30) t = 4.9 t 2
30 = 4.9 toneladas
t = 30 / 4.9
t = 6.12 segundos
Tiempo en el aire = 6.12 segundos
d) Distancia horizontal (d)
La solución es como determinar la distancia (d) en el movimiento lineal uniforme.
Conocido:
v ox = 52.2 m/s
t = 6.12 segundos
Se busca: d
d = vt = (52.2 m/s)(6.12 segundos) = 319.5 m
e) Velocidad cuando la bala impacta contra el suelo
v tx = v ox = 52.2 m/s
v ty = ?
Primero, calculamos la velocidad final en la dirección vertical (v ty ). La solución consiste en determinar la velocidad final en el movimiento vertical ascendente.
Se busca: v oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² , t = 6.12 segundos
Se busca: v ty
v ty = v oy + gt
v ty = (30) + (-9.8)(6.12)
v ty = (30) – (60)
v ty = -30 m/s
Un signo negativo indica que la velocidad final se dirige hacia abajo. Cabe destacar que la velocidad inicial en la dirección vertical es igual a la velocidad final en la misma dirección.
La velocidad de la bala al impactar contra el suelo:
La dirección de la bala:
Dado que v tx está en la dirección del eje x positivo (hacia la derecha) y vty está en la dirección del eje y negativo (hacia abajo),
La dirección de la velocidad de la bala cuando golpea el suelo es de -30° con respecto al eje x positivo (ver figura a continuación).
3. Se lanza una pelota desde el borde de un edificio de 50 metros de altura con una velocidad inicial de 10 m/s. Si la pelota se lanza con un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, determine:
(a) el intervalo de tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo
b) la velocidad de la pelota cuando golpea el suelo
(c) la distancia horizontal que puede alcanzar la pelota se mide desde el borde del edificio.
d) la altura máxima alcanzada por la pelota
La Solución:
Primero, calculamos la componente vertical (v oy ) y la componente horizontal (v ox ) de la velocidad inicial (v o ).
v ox = v o cos 30 ° = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s
v oy = v o sen 30 ° = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s
a) Intervalo de tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo
La solución consiste en determinar el intervalo de tiempo (t) en un movimiento vertical ascendente. Se elige un valor positivo para el vector cuya dirección es hacia arriba, y un valor negativo para el vector cuya dirección es hacia abajo. La posición de la pelota desde el lanzamiento se selecciona como punto de referencia. h es negativo porque la superficie del suelo está por debajo del punto de referencia, y g es negativo porque la dirección de la aceleración de la gravedad es hacia abajo.
Conocido:
v oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ s²
Se busca: t
h = v o t + ½ gt 2
-5 = 5 t + ½ (-9.8) t 2
-5 = 5 t – 4.9 t 2
-4.9 t 2 + 5 t + 5 = 0
Utilice la fórmula cuadrática:
Tiempo en el aire = intervalo de tiempo desde que se lanzó la pelota hasta que llegó al suelo = 1.64 segundos.
b) Velocidad de la pelota al golpear la superficie del suelo.
v tx = v ox = v x = 8.7 m/s
v ty = ?
Primero, calculamos la velocidad final en la dirección vertical (v ty ). La solución es similar a determinar la velocidad final en el movimiento vertical ascendente.
Datos conocidos: v oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² , t = 1.64 segundos
Se busca: v ty
v ty = v oy + gt
v ty = 5 + (-9.8)(1.64)
v ty = 5 – 16
v ty = -11 m/s
El signo negativo indica que la dirección de la velocidad final es hacia abajo.
La velocidad de la bala al impactar contra el suelo:
La dirección de la velocidad de la bala es igual a la dirección del movimiento de la bala cuando impacta contra el suelo:
La velocidad de la bala al impactar contra el suelo:
Debido a que vtx está en la dirección del eje x positivo (hacia la derecha) y vty está en la dirección del eje y negativo (hacia abajo),
La dirección de la bala cuando impacta contra el suelo es de -52° alrededor del eje x positivo (ver figura a continuación).
c) La distancia horizontal que puede alcanzar la pelota se mide desde el borde del edificio.
La solución es como determinar la distancia recorrida (d) en el movimiento lineal uniforme.
Datos conocidos: t = 1.64 segundos, v x = 8.7 m/s
Se busca: d
d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m
d) La altura máxima alcanzada por la pelota
Datos conocidos: v oy = 5 m/s, v ty = 0 m/s ( componente vertical de la velocidad a la altura máxima = 0 m/s), g = -9.8 m/ s².
Se busca: h
v ty 2 = v oy 2 + 2 gh
0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s² ) (h)
0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s² ) (h)
25 (m/s) 2 = -19.6 m/s 2 (h)
h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s² = 1.3 metros
La altura máxima alcanzada por la pelota = 1.3 metros por encima de la parte superior del edificio = 1.3 m + 50 m = 51.3 metros por encima de la superficie del suelo.
