Artículo sobre la ecuación de Poiseuilles
La ecuación de Poiseuille fue descubierta por Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Como se explicó, cada fluido puede considerarse un fluido ideal. El fluido ideal no tiene viscosidad. Si suponemos que un fluido ideal fluye por una tubería, cada parte del fluido se mueve a la misma velocidad (v). A diferencia del fluido ideal, el fluido real que encontramos en la vida cotidiana tiene viscosidad. Debido a esta viscosidad, al fluir por una tubería, por ejemplo, la velocidad de cada parte del fluido varía. La capa de fluido que se encuentra en el centro se mueve más rápido (v profunda), mientras que la capa de fluido adherida a la tubería permanece inmóvil (v = 0). Por lo tanto, desde el centro hasta el borde de la tubería, cada parte del fluido se mueve a velocidades diferentes. Para facilitar su comprensión, observe la imagen a continuación.
R = el radio del tubo/tubo
v 1 = caudal de fluido en el centro / eje del tubo
v 2 = caudal de fluido que es r 2 desde el borde del tubo
v 3 = caudal de fluido r 3 desde el borde del tubo
v 4 = caudal de fluido r 4 desde el borde del tubo
r = distancia
Para que el caudal de cada parte del fluido sea el mismo, debe existir una diferencia de presión en ambos extremos de la tubería o conducto por el que circula. Por fluido nos referimos aquí a un fluido real, como el agua o el aceite que fluye por una tubería, la sangre que circula por un vaso sanguíneo, etc. Además de facilitar el flujo uniforme de un fluido real, la diferencia de presión también puede influir en el flujo de los fluidos en tuberías de diferentes alturas.
Jean Louis Marie Poiseuille, un científico francés interesado en los aspectos físicos de la circulación sanguínea humana, investigó cómo factores como las diferencias de presión, la sección transversal del tubo y el tamaño del tubo afectan el flujo sanguíneo real. Los resultados obtenidos por Jean Louis Marie Poiseuille se conocen como la ecuación de Poiseuille.
La ecuación de Poiseuille se puede derivar utilizando una ecuación de coeficiente de viscosidad calculada previamente. Usamos la ecuación de viscosidad porque los casos son similares, aunque no idénticos. Al derivar la ecuación del coeficiente de viscosidad, analizamos el flujo de una capa de fluido real entre dos placas paralelas, donde el fluido se mueve debido a la atracción (F). La diferencia radica en que la ecuación de Poiseuille que derivaremos considera los factores que influyen en el flujo del fluido real en la tubería y en el flujo del fluido debido a la diferencia de presión. Por lo tanto, es necesario ajustar nuevamente la ecuación del coeficiente de viscosidad.
El fluido puede fluir debido a una diferencia de presión (el fluido fluye de un lugar de alta presión a un lugar donde la presión es baja), entonces reemplazamos F con p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Al derivar la ecuación del coeficiente de viscosidad, analizamos el flujo de una capa de fluido real entre dos placas paralelas. Cada parte del fluido cambia su velocidad de forma regular hasta una longitud l. En este caso, el caudal del fluido varía regularmente desde el eje del tubo hasta su borde. El fluido en el eje del tubo fluye a una velocidad mayor (v). Cuanto más cerca del borde, menor es la velocidad del fluido. El radio del tubo es igual a la distancia entre el eje del tubo y su borde, que es R. La distancia entre cada parte del fluido y el borde del tubo es r. Debido a que la cantidad de cada parte del fluido es grande y la distancia desde el borde del tubo también es diferente, simplemente escribimos la ecuación de la siguiente manera:
v 1 = la velocidad del fluido que se encuentra a una distancia r 1 del borde del tubo (r 1 = R)
v 2 = la velocidad del fluido que se encuentra a una distancia r 2 del borde del tubo (r 2 < r 1 )
v 3 = la velocidad del fluido a una distancia r 3 del borde del tubo (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = la velocidad del fluido que se encuentra a una distancia r 4 del borde del tubo (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
............................................. ..
v n = la velocidad del fluido a la distancia rn del borde del tubo (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
La cantidad de cada parte del fluido es enorme, y tampoco sabemos exactamente cuánto es realmente, por lo que basta con escribirlo con el símbolo n. Cada parte del fluido cambia la velocidad (v) regularmente, desde el eje del tubo (r 1 = R) hasta el borde del tubo (rn). Desde el eje del tubo (r 1 = R) hasta el borde del tubo (rn), la velocidad de cada parte del fluido es menor (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n ).
De la explicación anterior, podemos deducir que, desde R hasta rn, el caudal del fluido disminuye. Longitud de la tubería = L. Ecuación obtenida:
Dado que lo que estamos analizando es la velocidad del flujo del fluido, la ecuación 2 se convierte en:
Esta es la ecuación de velocidad del flujo de fluido a una distancia r de la tubería con un radio R. Si la imagen anterior le resulta confusa, tenga en cuenta que el fluido fluye por un tubo, por lo que debemos analizar el caudal volumétrico.
Dentro del tubo hay un fluido. Por ejemplo, dividimos el fluido en pequeñas partes, donde cada parte tiene un área unitaria dA, separada del eje del tubo y con una velocidad de flujo v. Matemáticamente se puede escribir de la siguiente manera:
dA 1 = parte del fluido 1, que es una distancia dr 1 desde el eje del tubo.
dA 2 = parte del fluido 2, que es una distancia dr 2 desde el eje del tubo.
dA 3 = parte fluida 3, que es una distancia dr 3 desde el eje del tubo.
..................................
dAn = parte del fluido n, que es una distancia dn desde el eje del tubo.
La cantidad de fluido es muy grande, por lo que se representa con el símbolo n, lo que resulta más práctico. El caudal volumétrico de cada parte del fluido se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
Cada porción de fluido se encuentra a una distancia de r = 0 a r = R (R = radio del tubo). En otras palabras, la distancia de cada porción de fluido varía al medirse desde el eje del tubo. Obtendremos la ecuación del caudal volumétrico del fluido en el tubo:
Q = Caudal, R = radio de la tubería o tubo, η = coeficiente de viscosidad, P 1 – p 2 = Diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería, L = longitud de la tubería, p 1 -p 2 / L = Gradiente de presión (el flujo de fluido siempre se produce en la dirección de la caída de presión)
Según la ecuación de Poiseuille anterior, el caudal del fluido (Q) es proporcional al radio del tubo (R₄ ) , al gradiente de presión (p₂ – p₁ / L) e inversamente proporcional a la viscosidad. Si se añade el radio del tubo (coeficiente de viscosidad y gradiente de presión fijo), la velocidad del flujo aumenta 16 veces.
En el concepto básico del diseño de tuberías, utilice esta ecuación. El caudal de fluido es proporcional a R⁴ ( donde R es el radio del tubo). El radio de la jeringa o de las puntas de la tubería debe calcularse con precisión. Por ejemplo, si duplicamos el radio de la aguja (rx²), el caudal de líquido pulverizado aumenta 16 veces la fuerza de compresión del pulgar.
La ecuación de Poiseuille también muestra que el radio (r⁴ ) es inversamente proporcional a la diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería. Por ejemplo, la sangre fluye primero en un vaso sanguíneo que tiene un radio interno r. Si hay un estrechamiento de las arterias (por ejemplo, r/2 = el radio de los vasos sanguíneos se reduce a la mitad),
Entonces se necesita una diferencia de presión de 16 veces para que la sangre fluya como antes (de modo que la velocidad del flujo sea constante).
