Adición de vectores

Artículo sobre la suma de vectores

1. Cantidades vectoriales y escalares

Además de las magnitudes fundamentales y derivadas, las magnitudes físicas se pueden dividir en dos tipos: escalares y vectoriales. Magnitudes como la masa, la distancia, el tiempo y el volumen son escalares; es decir, solo tienen magnitud pero no dirección. Por otro lado, magnitudes como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y la fuerza son vectoriales; es decir, tienen magnitud y dirección.

a. Diferencia entre una cantidad escalar y una cantidad vectorial

Si dices que la masa de una pelota es de 400 gramos, esta afirmación es suficiente para que sepas la masa de la pelota. No necesitas la dirección para averiguar la masa de la pelota. Lo mismo ocurre con el tiempo, la temperatura, el volumen, la densidad, etc. Hay varias cantidades físicas que no se pueden expresar solo en magnitud. Si dices que un niño se mueve hasta 100 metros, entonces esta afirmación no es suficiente. Podrías preguntar, ¿a dónde se movió? ¿Es al norte, al sur, al este o al oeste? Del mismo modo, si dices que empujas la mesa con una fuerza de 200 N.

¿Dónde conduces? Bueno, esas magnitudes se llaman magnitudes vectoriales, que requieren una explicación de su magnitud y dirección. Ejemplos de magnitudes vectoriales son el desplazamiento, la aceleración, el impulso, el momento lineal , etc. Puedes comprenderlo mejor al estudiar temas relacionados con estas magnitudes.

b. Dibuja un vector

Un vector se indica mediante una flecha. La flecha siempre se dibuja apuntando en la dirección del vector. La longitud de la flecha se describe como la magnitud del vector. Por ejemplo, en la figura se muestra un vector de fuerza (F) con una magnitud de 2 N cuya dirección es hacia el noreste o 45° ^alrededor del eje x.

c. Reglas para escribir cantidades de vectores

Al escribir un vector, si se usa la escritura a mano, el símbolo del vector generalmente se escribe en cursiva con letras mayúsculas, y encima debe agregarse una flecha. En los libros impresos, los símbolos de los vectores se escriben en mayúsculas y negrita, por ejemplo, F. Para la magnitud del vector, si usamos la escritura a mano, la magnitud del vector se escribe, por ejemplo, |F| . En los libros impresos, la magnitud del vector se escribe en cursiva, por ejemplo, F.

2. Suma de vectores: métodos gráficos

Existen varias formas de sumar vectores gráficamente, incluyendo el método de la cola a la punta y el método del paralelogramo.

a. Método de suma de vectores de cola a punta

Se conocen los vectores A y B. El vector A = 3 cm coincide con el eje x (hacia el este). El vector B = 2 cm forma un ángulo de 30 ^° con el eje x (hacia el noreste). Sume A y B gráficamente usando el método de la cola a la punta. a) R = A + B b) R = A – B

La magnitud del vector resultante (R) se mide con una regla. La dirección del vector resultante se mide con un transportador.

Se conocen los vectores A, B y C. El vector A = 3 cm coincide con el eje x (hacia el este). El vector B = 2 cm forma un ángulo de 30 ^° con el eje x (hacia el noreste). El vector C = 1 cm forma un ángulo de 60 ^° con el eje x (hacia el noreste). Sume gráficamente A, B y C utilizando el método de la cola a la punta.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

El vector resultante (R) se mide con una regla. La dirección del vector resultante se mide con un transportador.

b. Método del paralelogramo

Se conocen los vectores A, B y C. El vector A = 3 cm coincide con el eje x (hacia el este). El vector B = 2 cm forma un ángulo de 30 ^° con el eje x (hacia el noreste). El vector C = 1 cm forma un ángulo de 60 ^° con el eje x (hacia el noreste). Suma gráficamente A, B y C usando un paralelogramo.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

El vector resultante (R) se mide con una regla. La dirección del vector resultante se mide con un transportador.

3. Suma de vectores – aanalítico Método

Determinar la magnitud y la dirección del vector resultante mediante el método gráfico es una opción. La precisión de los resultados depende de la exactitud con la que se dibuje y lea la escala. La magnitud y la dirección del vector resultante se obtienen con mayor precisión mediante cálculos matemáticos.

a. Cálculo de la suma de 2 vectores utilizando la regla del coseno

La fórmula para determinar la magnitud del vector resultante:

La fórmula para determinar la dirección del vector resultante:

C = vector resultante

A = vector 1

B = vector 2

cos ∠(A, B) = ángulo formado por los vectores A y B

Problema de ejemplo 1:

F ₁ = 2 N forma un ángulo de 30° alrededor del eje x, F ₂ = 3 N forma un ángulo de 60 ^° alrededor del eje x, θ = 30 ^°.

Problema de ejemplo 2:

F ₁ = 2 N coincide con el eje x, F ₂ = 3 N forma un ángulo de 90 ^o alrededor del eje x, θ = 90 ^o.

b. Suma de vectores por componentes

Analicemos un vector F que forma un cierto ángulo con respecto al eje x, como se muestra en la figura siguiente. F _x y F _y son los vectores componentes del vector F.

La magnitud del vector componente se determina mediante la fórmula:

F _x = F cos θ

F _y = F sen θ

Repase los dos vectores F₁ y F₂ que forma un cierto ángulo con respecto al eje x, como se muestra en la figura siguiente. F_1x y F_1y son componentes del vector F₁, entonces F_2x y F_2y son componentes del vector F₂.

El vector componente se determina mediante la fórmula:

F_1x = F₁ cosθ

F _1y = F ₁ sin θ

F _2x = F ₂ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

Añadiendo los vectores componentes:

F _x = F _1x + F _2x

F _y = F _1y + F _2y

El vector resultante se determina mediante la fórmula:

La dirección del vector resultante se determina mediante la fórmula:

Problema de ejemplo 1:

Determina las componentes del vector F cuya magnitud es 20 N y forman un ángulo de 30 ^° alrededor del eje x.

F _x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N)(sen 30 ^o ) = 10 N

Problema de ejemplo 2:

_{La fuerza F₁} = 20 N forma un ángulo de 30 ^° con respecto al eje x, y la fuerza F₂ ₌ 15 N forma un ángulo de 180° con respecto al eje x. Determina la magnitud y la dirección del vector resultante.

F _1x = (20 N)(cos 30 ^° ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sen 30 ^o ) = 10 N

F _2y = 0

Añadiendo los vectores componentes:

F _x = F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

F _y = 10 N

El vector resultante:

F ₂ = F _x ² + F _y ² = 2 ² + 10 ² = 4 + 100 = 104

F = 10.2 N

Dirección del vector resultante:

θ = tan −15 = 78.7 ^° alrededor del eje x

Problema de ejemplo 3:

F₁, F_2, y F₃ son 20 N, 30 N y 40 N. F₁ forma un ángulo de 60^o alrededor del eje x, F₂ forma un ángulo de 150^o alrededor del eje x, y F₃ forma un ángulo de 315^o Con respecto al eje x, determine la magnitud y la dirección del vector resultante.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^° ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sen 60 ^o ) = 17 N

F _2x = (30 N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sen 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N)(sen 45 ^o ) = -28 N

Añadiendo el vector de componentes:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Vector resultante:

F ² = F _x ² + F _y ² = 12 ² + 4 ² = 144 + 16 = 160

F = 13 N

Dirección del vector resultante:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° alrededor del eje x