Se denomina ecuación de Poiseuille porque fue descubierta por el difunto Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Como se explicó, todo fluido puede considerarse un fluido ideal. Los fluidos ideales no tienen viscosidad. Si imaginamos un fluido ideal fluyendo por una tubería, cada parte del fluido se mueve a la misma velocidad (v). A diferencia de los fluidos ideales, los fluidos reales, o los que encontramos en la vida cotidiana, tienen viscosidad. Debido a la viscosidad, cuando fluyen por una tubería, por ejemplo, la velocidad de cada parte del fluido varía. La capa de fluido en el centro se mueve más rápido (v es grande), mientras que la capa de fluido adherida a la tubería permanece inmóvil (v = 0). Por lo tanto, desde el centro hasta el borde de la tubería, cada parte del fluido se mueve a velocidades diferentes. Para que le resulte más fácil de entender, observe la imagen a continuación…
Informacion:
R = radio de la tubería/tubo
v1 = caudal de fluido en el centro/eje del tubo
v2 = caudal de fluido a una distancia r2 desde el borde del tubo
v3 = caudal de fluido a una distancia r3 desde el borde del tubo
v4 = caudal de fluido a una distancia r4 desde el borde del tubo
r = distancia
Para garantizar que el caudal de cada fluido sea el mismo, debe existir una diferencia de presión en ambos extremos de cualquier tubería o conducto por el que circule dicho fluido. Por fluido, nos referimos a fluidos reales, como agua o aceite fluyendo por una tubería, sangre fluyendo por los vasos sanguíneos, etc. Además de facilitar el flujo uniforme de un fluido real, las diferencias de presión también permiten que los fluidos fluyan por tuberías a diferentes alturas.
Jean Louis Marie Poiseuille, un antiguo científico francés interesado en los aspectos físicos de la circulación sanguínea humana, realizó una investigación para estudiar cómo factores como las diferencias de presión, el área de la sección transversal de un tubo y el tamaño del tubo afectan la velocidad de un fluido real. Los resultados obtenidos por Jean Louis Marie Poiseuille se conocen como la ecuación de Poiseuille.
La ecuación de Poiseuille se puede derivar utilizando la ecuación del coeficiente de viscosidad previamente obtenida. Utilizamos esta última porque el caso es similar, aunque no idéntico. Al derivar la ecuación del coeficiente de viscosidad, consideramos el flujo de una capa de fluido real entre dos placas paralelas, donde el fluido se mueve debido a la fuerza de tracción (F). La diferencia radica en que la ecuación de Poiseuille que derivaremos describe los factores que influyen en el flujo de un fluido real en una tubería, donde el fluido fluye debido a diferencias de presión. Por lo tanto, es necesario ajustar nuevamente la ecuación del coeficiente de viscosidad.
Los fluidos pueden fluir debido a diferencias de presión (los fluidos fluyen de lugares con alta presión a lugares con baja presión), por lo que reemplazamos F con p.1 - P2 (p1 > p2).
Al derivar la ecuación para el coeficiente de viscosidad, consideramos el flujo de una capa de fluido real entre dos placas paralelas. Cada porción del fluido experimenta un cambio regular de velocidad a lo largo de una distancia l. En este caso, el caudal del fluido cambia regularmente desde el eje del tubo hasta su borde. El fluido en el eje del tubo fluye a mayor velocidad (v). Cuanto más cerca del borde, menor es la velocidad del fluido. El radio del tubo es igual a la distancia entre el eje del tubo y su borde, R. La distancia entre cada porción del fluido y el borde del tubo es r. Dado que el número de porciones de cada tipo de fluido es muy grande y su distancia al borde del tubo también varía, simplemente lo escribimos así:
v1 = la velocidad del fluido a una distancia r1 del borde del tubo (r1 = R)
v2 = la velocidad del fluido a una distancia r2 del borde del tubo (r2 < r1)
v3 = la velocidad del fluido a una distancia r3 del borde del tubo (r3 < r2 < r1)
v4 = la velocidad del fluido a una distancia r4 del borde del tubo (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = velocidad del fluido a una distancia rn del borde del tubo (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
La cantidad de cada parte del fluido es muy grande y, como desconocemos su cantidad exacta, basta con representarla con el símbolo n. Cada parte del fluido experimenta un cambio de velocidad (v) de forma regular, desde el eje del tubo (r1 = R) hasta el borde del tubo (rn). Desde el eje del tubo (r1 = R) hasta el borde del tubo (rn), la velocidad de cada parte del fluido disminuye (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
De la explicación anterior, podemos deducir que de R a rn, el caudal disminuye. La longitud de la tubería es L. La ecuación obtenida es:
Dado que lo que estamos considerando es la velocidad (v) del flujo de fluido, la ecuación 2 se convierte en:
Esta es la ecuación para el caudal de un fluido a una distancia r de una tubería con radio R. Si la imagen anterior le resulta confusa, tenga en cuenta que el fluido fluye por una tubería o conducto, por lo que debemos analizar el caudal volumétrico.
Dentro del tubo hay un fluido. Por ejemplo, dividimos el fluido en trozos muy pequeños, donde cada trozo tiene un área unitaria dA, está a una distancia del eje del tubo y tiene un caudal v. Matemáticamente, esto se puede escribir de la siguiente manera:
dA1 = sección de fluido 1, que se encuentra a una distancia de 1 del eje del tubo.
dA2 = sección de fluido 2, que se encuentra a una distancia de 2 del eje del tubo.
dA3 = sección de fluido 3, que se encuentra a una distancia de 3 del eje del tubo.
..................................
dA n = sección de fluido n, que es una distancia dA n desde el eje del tubo.
Hay tantas piezas de fluido que resulta conveniente escribirlas simplemente con el símbolo n. El caudal volumétrico de cada pieza de fluido se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
Cada porción de fluido se encuentra a una distancia de r = 0 a r = R (donde R es el radio del tubo). En otras palabras, la distancia de cada porción de fluido varía al medirse desde el eje del tubo. Si realizamos cálculos (integración), obtendremos la ecuación para el caudal volumétrico del fluido en el tubo:
Informacion:
Q = Débito
R = Radio interno de la tubería o tubo
η = Coeficiente de viscosidad
P1 - P2 = Diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería
L = Longitud de la tubería
p1-p2/L = Gradiente de presión (el flujo de fluido siempre se produce en la dirección de disminución de la presión)
Según la ecuación de Poiseuille anterior, parece que el caudal volumétrico del fluido, también conocido como descarga (Q), es proporcional a la cuarta potencia del radio del tubo (R).4), gradiente de presión (p2 - P1 /L) y es inversamente proporcional a la viscosidad. Si se aumenta el radio del tubo (el coeficiente de viscosidad y el gradiente de presión permanecen constantes), entonces el caudal del fluido aumenta en un factor de 16.
El concepto básico de diseño de tuberías, jeringas, etc., utiliza esta ecuación. El caudal de fluido es proporcional a R.4 (R = radio del tubo). El radio de la jeringa o del tubo debe calcularse con precisión. Por ejemplo, si duplicamos el radio de la aguja (r x 2), la descarga del líquido pulverizado aumenta 16 veces la presión ejercida por el pulgar.
La ecuación de Poiseuille también muestra que la cuarta potencia del radio (r4), es inversamente proporcional a la diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería. Por ejemplo, inicialmente la sangre fluye por un vaso sanguíneo con un radio interno r. Si se produce un estrechamiento del vaso sanguíneo (por ejemplo, r/2 = el radio interno del vaso sanguíneo se reduce a la mitad), entonces se necesita una diferencia de presión de 16 veces para que la sangre fluya como antes (de modo que el caudal o volumen sanguíneo permanezca constante).
