Ejemplos de preguntas y debate: Varianza y desviación estándar de datos individuales
La estadística es una rama de las matemáticas que se ocupa de la recopilación, el análisis, la interpretación, la presentación y la organización de datos. Dos conceptos importantes en estadística son la varianza y la desviación estándar. Este artículo explicará en detalle cómo calcular la varianza y la desviación estándar de un conjunto de datos mediante varios ejemplos.
Comprensión de la varianza y la desviación estándar
La varianza es una medida que cuantifica la dispersión de los datos en un conjunto con respecto a la media. Se expresa en unidades cuadradas de los datos originales, lo que a menudo dificulta su interpretación.
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Proporciona una medida más intuitiva de cuánto se desvían los datos de la media, ya que sus unidades son las mismas que las unidades originales de los datos.
Fórmula general
Para datos individuales, la fórmula para la varianza \( \sigma^2 \) y la desviación estándar \( \sigma \) de la población es la siguiente:
1. Varianza (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Desviación estándar (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
De mana:
– \( N \) es el número de datos en la población.
– \( x_i \) es el i-ésimo valor de datos.
– \( \mu \) es la media o promedio de los datos.
Si calculamos la varianza y la desviación estándar de la muestra, entonces la fórmula anterior se modifica ligeramente:
1. Varianza muestral (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Desviación estándar de la muestra (s):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
De mana:
– \( n \) es el número de datos en la muestra.
– \( \bar{x} \) es la media o promedio de la muestra.
Contoh Soal dan Pembahasan
Ejemplo de pregunta 1:
Dados los siguientes datos:
8, 10, 10, 10, 12, 14
¡Calcula la varianza y la desviación estándar de los datos!
Pasos de la solución:
1. Cálculo del promedio (media) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Calcula la diferencia entre los datos y el promedio, y luego elévala al cuadrado:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Sumar todos los resultados al cuadrado:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Cálculo de la varianza (σ²) de los datos de una población:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nota: Dado que estos datos se presentan como datos de población, dividimos entre 6.
5. Cálculo de la desviación estándar (σ):
\[
σ = √3.559 ≈ 1.886
\]
Por lo tanto, la varianza de los datos es 3.559 y la desviación estándar es 1.886.
Ejemplo de pregunta 2:
Dados los siguientes datos de muestra:
5, 6, 8, 9, 10, 11
¡Calcula la varianza y la desviación estándar de la muestra!
Pasos de la solución:
1. Cálculo del promedio (media) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Calcula la diferencia entre los datos y el promedio, y luego elévala al cuadrado:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Sumar todos los resultados al cuadrado:
\[
∑ (x_i – x̄)² = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Cálculo de la varianza muestral (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Como se trata de datos de muestra, dividimos por 5 (n-1).
5. Cálculo de la desviación estándar (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Por lo tanto, la varianza de los datos de la muestra es 5.351 y la desviación estándar es 2.313.
conclusión
Calcular la varianza y la desviación estándar es fundamental para comprender la dispersión de los datos dentro de un conjunto determinado. Mientras que la varianza proporciona una medida teórica de la dispersión en cuadrados de las unidades originales, la desviación estándar interpreta la medida de dispersión en términos de las unidades originales de los datos, lo que facilita su comprensión. En el análisis de datos, estas dos medidas se utilizan con frecuencia para evaluar la variabilidad de los datos y tomar decisiones estadísticas.
Al comprender los pasos y fórmulas necesarios, podemos calcular fácilmente la varianza y la desviación estándar para diversas situaciones que encontramos en la recopilación y el análisis de datos cotidianos. Esperamos que este artículo proporcione una comprensión más profunda de los conceptos de varianza y desviación estándar en conjuntos de datos individuales.
