Ekzemplo de Problemoj Diskutantaj Poziciajn Vektorojn
Vektoroj estas fundamenta koncepto en matematiko kaj fiziko, reprezentante kvantojn kun kaj direkto kaj magnitudo. En diversaj aplikoj, vektoroj ofte estas uzataj por priskribi pozicion, rapidon, forton kaj multajn aliajn parametrojn. Inter la diversaj specoj de vektoroj, poziciaj vektoroj ludas gravan rolon en mapado de la loko de punkto en la spaco.
Difino de Pozicia Vektoro
Pozicia vektoro estas vektoro kiu priskribas la lokon de punkto relative al la origino en koordinatsistemo. Ĝenerale, pozicia vektoro estas skribita en kartezia koordinata formo kiel:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Ĉi tie, ∫(r) estas la pozicia vektoro, ∫(x), ∫(y) kaj ∫(z) estas ĝiaj komponantoj laŭlonge de la aksoj ∫(x), ∫(y) kaj ∫(z) respektive, dum ∫(i), ∫(j) kaj ∫(k) estas unuaj vektoroj paralelaj al la koordinataj aksoj, respektive. En dudimensia spaco, la komponanto ∫(z) ĝenerale ne ekzistas, do la pozicia vektoro fariĝas:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Aplikoj de Poziciaj Vektoroj
Ekzemple, en fiziko, poziciaj vektoroj ludas gravan rolon en la priskribado de la moviĝo de objektoj. La pozicio de objekto relative al la origino (referenca punkto) povas esti reprezentita per pozicia vektoro. Krome, en mekanika inĝenierarto, kalkuloj de fortoj kaj momentoj ofte implikas la uzon de poziciaj vektoroj.
Ekzemplaj Demandoj kaj Diskuto pri Poziciaj Vektoroj
Demando 1
Supozu, ke ekzistas du punktoj en 3D spaco, punkto A kun koordinatoj \( (1, 2, 3) \) kaj punkto B kun koordinatoj \( (4, 0, -2) \). Difinu la poziciajn vektorojn de punktoj A kaj B. Krome, kalkulu la vektoron konektantan punkton A al punkto B.
Diskuto:
Pozicia vektoro por punkto A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Pozicia vektoro por punkto B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Poste, por trovi la vektoron konektantan punkton A al punkto B (nomata \(\mathbf{AB}\)), ni bezonas subtrahi la pozician vektoron de A de la pozicia vektoro de B:
\[ AB = r_B – r_A ]
Do, anstataŭigante la du poziciajn vektorojn supre:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Do, la vektoro konektanta punkton A al B estas ∫(3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k}).
Demando 2
Se punkto P estas sur \((2, 3)\) en la 2D ebeno, trovu la longon (normon) de la pozicia vektoro \(\mathbf{r_P}\).
Diskuto:
Pozicia vektoro de punkto P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
La longo de la pozicia vektoro r_P povas esti kalkulita uzante la formulon de vektora normo (aŭ longo):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Anstataŭigu la valorojn de \(x\) kaj \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Do, la longo de la pozicia vektoro r_P estas 13.
Demando 3
Supozu, ke punkto Q kuŝas ĉe \((5, -4, 2) \). Trovu la angulon inter la pozicia vektoro \(\mathbf{r_Q}\) kaj la \(x\) akso.
Diskuto:
Pozicia vektoro de punkto Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Por trovi la angulon inter la vektoro r_Q kaj la akso x, ni povas uzi la koncepton de skala produto. Unue, ni determinas la skala produton inter r_Q kaj i:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Ĉar ∫(i)∫i = 1), ∫(j)∫i = 0), kaj ∫(k)∫i = 0), tiam:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Normo de rQ
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
La normo de \(\mathbf{i}\) estas 1, ĉar \(\mathbf{i}\) estas unuobla vektoro.
Uzante la formulon de skalara produto por trovi la angulon θ:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ cos θ = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Do la angulo θ inter la pozicia vektoro rQ kaj la akso x estas:
\[ θ = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Konkludo
Poziciaj vektoroj ludas gravan rolon en scienco kaj inĝenierarto, precipe en mapado de la pozicio de objektoj en koordinata spaco. La ekzemploj supre montras kiel kalkuli poziciajn vektorojn, iliajn longojn, kaj la angulojn inter ili kaj la koordinataj aksoj. Kompreni ĉi tiujn fundamentajn konceptojn estas valorega por solvi diversajn problemojn implikantajn spacon kaj koordinatojn en matematiko kaj fiziko.
