Ekzemplaj Demandoj Diskutante Du-Dimensiajn Vektorojn en Koordinata Sistemo
Vektoro estas kvanto, kiu havas kaj magnitudon kaj direkton. Vektoroj estas ofte uzataj en diversaj matematikaj kaj fizikaj temoj por reprezenti diversajn fenomenojn. En ĉi tiu artikolo, ni diskutos ekzemplojn de dudimensiaj vektoroj en koordinatsistemo.
Bazaj Konceptoj de Vektoroj en Koordinataj Sistemoj
Vektoro en dudimensia koordinatsistemo povas esti prezentita kiel \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), kie \(a_1\) estas la x-komponanto de la vektoro kaj \(a_2\) estas la y-komponanto de la vektoro. La vektoro povas esti malkomponita en du komponantojn, nome la x-komponanton kaj la y-komponanton.
Vektora Adicio kaj Subtraho
La adicio de du vektoroj (A = (a_1, a_2)) kaj (B = (b_1, b_2)) estas:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Dum la redukto estas:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Skalara Multipliko
Se \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) kaj \(k\) estas skalaro, tiam \(k\vec{A}\) estas:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Vektora Magnitudo
La grando aŭ longo de la vektoro \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) estas:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Unuobla Vektoro
Unuobla vektoro estas vektoro, kiu havas longon de unu unuo. La unuobla vektoro de \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) estas:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Demando 1: Adicio kaj Subtraho de Vektoroj
Du vektoroj estas donitaj jene: (\vec{A} = (3, 4)\) kaj (\vec{B} = (1, 2)\). Trovu la produton de (\vec{A} + \vec{B}\) kaj (\vec{A} – \vec{B}\).
Diskuto:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Demando 2: Skalara Multipliko
Konsiderante la vektoron \(\vec{C} = (2, -3)\), kalkulu \(3\vec{C}\) kaj \(-2\vec{C}\).
Diskuto:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Demando 3: Vektora Magnitudo
Kalkulu la magnitudon de la vektoro \(\vec{D} = (5, 12)\).
Diskuto:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Demando 4: Unuoblaj vektoroj
Trovu la unuecan vektoron de la vektoro _(\vec{E} = (4, 3)\).
Diskuto:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Demando 5: Pozicio kaj Distanco de Vektoroj
Du punktoj en la dudimensia koordinata ebeno estas P(2, 3) kaj Q(5, 7). Difinu la pozician vektoron de punkto P ĝis punkto Q kaj la distancon inter ili.
Diskuto:
La pozicia vektoro de P ĝis Q estas:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
La distanco inter punktoj P kaj Q estas:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Demando 6: Rezulto de skalara produkto
Se (F = (-3, 4)) kaj (G = (2, 1)), kalkulu la skalaran produton de (F → G).
Diskuto:
La skalara produto de du vektoroj estas:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Demando 7: Angulo Inter Du Vektoroj
Se ∫H = (7, -4) kaj ∫I = (3, 0)), determinu la angulon inter la du vektoroj.
Diskuto:
Por determini la angulon inter du vektoroj, ni uzas la formulon:
\[
cos θ = frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Unue, kalkulu la skalaran produton (H → I):
\[
∫H∫I₀ = 7∫3 + (-4)∫0 = 21 + 0 = 21
\]
Poste, kalkulu la grandojn de \(\vec{H}\) kaj \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Enigu ĉi tiujn valorojn en la formulon:
\[
cos θ = 21}{65 ∫3 = 21}{365 = 7}{65
\]
Do, θ = cos^{-1} (7}{65)).
Demando 8: Vektora Projekcio
Por la vektoroj \(\vec{J} = (2, 1)\) kaj \(\vec{K} = (-1, 3)\), kalkulu la projekcion de \(\vec{J}\) sur \(\vec{K}\).
Diskuto:
La projekcio de \(\vec{J}\) sur \(\vec{K}\) estas:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Unue, kalkulu la skalaran produton (J → K):
\[
∫J ∫K = 2 (-1) + 1 ∫3 = -2 + 3 = 1
\]
Tiam, la grando de \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Tiel ke,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Enigu en la formulon:
\[
\tekst{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Jen ekzemploj de problemoj kaj diskutoj rilataj al dudimensiaj vektoroj en koordinatsistemo. Bona kompreno pri vektoroj povas esti helpema en multaj aplikoj en matematiko, fiziko kaj inĝenierarto. Praktikado kun diversaj ekzemploj povas profundigi vian komprenon pri ĉi tiu koncepto, permesante ĝian efike aplikadon en diversaj situacioj.
