Ekzemploj de Demandoj kaj Diskutoj pri Operacioj sur Kompleksaj Nombroj
Kompleksaj nombroj estas etendo de la koncepto de realaj nombroj por inkluzivi imagajn nombrojn. La ĝenerala formo de kompleksa nombro estas a + bi, kie a kaj b estas realaj nombroj, kaj i estas imaginara unuo kun la eco i² = -1. Operacioj sur kompleksaj nombroj inkluzivas adicion, subtrahon, multiplikon kaj dividon. Ĉi tiu artikolo provizos plurajn ekzemplajn problemojn kaj diskutojn por diversaj operacioj sur kompleksaj nombroj.
Adicio kaj Subtraho de Kompleksaj Nombroj
Ekzempla Demando 1
Aldonu la jenajn kompleksajn nombrojn: (3 + 4i) kaj (1 + 2i).
Diskuto:
La adicio de kompleksaj nombroj estas farata per adicio de iliaj realaj kaj imaginaraj partoj aparte.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
Do, la rezulto de adicio de (3 + 4i) kaj (1 + 2i) estas 4 + 6i.
Ekzempla Demando 2
Subtrahu la kompleksan nombron (2 + 5i) de (6 + 3i).
Diskuto:
Subtraho de kompleksaj nombroj oni faras per subtraho de la reela parto kaj la imaginara parto aparte.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
Do, la rezulto de subtraho de (2 + 5i) de (6 + 3i) estas 4 – 2i.
Multipliko de Kompleksaj Nombroj
Ekzempla Demando 3
Multipliku la jenajn kompleksajn nombrojn: (2 + 3i) kaj (4 + i).
Diskuto:
Multipliko de kompleksaj nombroj estas farata per distribuoj aŭ formalaj aranĝoj, simile al multipliko de du binomoj en ordinara algebro.
\[
(2 + 3i) ⋅ (4 + i) = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ i + 3i ⋅ 4 + 3i ⋅ i
\]
Tiam ni kalkulas detale:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
Ĉar \(i^2 = -1 \):
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
Do, la rezulto de multipliko de (2 + 3i) kaj (4 + i) estas 5 + 14i.
Divido de Kompleksaj Nombroj
Ekzempla Demando 4
Dividu la jenan kompleksan nombron: (5 + 6i) per (2 + i).
Diskuto:
Divido de kompleksaj nombroj uzante la konjugaĵon de la denominatoro. La konjugaĵo de \(2 + i\) estas \(2 – i\).
Ni multiplikas la numeratoron kaj denominatoron per la konjugito de la denominatoroj:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
Nun ni kalkulas la numeratoron kaj denominatoron aparte:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Multipliko de denominatoroj:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Multipliko de la numeratoroj:
\[
(5 + 6i) ⋅ (2 – i) = 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ (-i) + 6i ⋅ 2 + 6i ⋅ (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
Do, la divido estas:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
Do la rezulto de divido de (5 + 6i) per (2 + i) estas 3.2 + 1.4i.
Plia Diskuto: Modulo kaj Konjugaĵo de Kompleksaj Nombroj
Ekzempla Demando 5
Trovu la modulon kaj konjugiton de la kompleksa nombro z = 3 + 4i.
Diskuto:
La modulo de la kompleksa nombro z = a + bi estas:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
Por z = 3 + 4i:
\[
|z| = ∫² + 4² = ∫² + 9∫ ...
\]
La konjugito de la kompleksa nombro z = a + bi estas z = a – bi.
Por z = 3 + 4i:
\[
z^ = 3 – 4i
\]
Do la modulo de \(3 + 4i\) estas 5, kaj ĝia konjugito estas \(3 – 4i\).
Konkludo
Kompleksaj nombroj ludas gravan rolon en vasta gamo da matematikaj kampoj kaj teknikaj aplikoj. Kompreni bazajn operaciojn sur kompleksaj nombroj, kiel adicio, subtraho, multipliko kaj divido, estas ŝlosila por uzi ĉi tiujn konceptojn en solvado de pli kompleksaj problemoj. Praktikado de diversaj problemtipoj, kiel tiuj priskribitaj supre, helpos fortigi vian komprenon kaj kapablojn en laborado kun kompleksaj nombroj.
